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课时14生活中的圆周运动离心现象考点一火车转弯运动的力学分析►基础梳理◄图1(1)当火车行驶速率v等于v规定时，F向＝F合，内外轨对轮缘没有压力；(2)当火车行驶速度v大于v规定时，F向F合，外轨受到侧向挤压的力(这时向心力增大，外轨提供一部分力)；(3)当火车行驶速度v小于v规定时，F向F合，内轨受到侧向挤压的力(这时向心力减小，内轨提供一部分力)．考点二汽车在拱形桥上运动的力学分析►基础梳理◄图2汽车以速度v过半径为R的弧形(凸或凹)桥时，在最高点(或最低点)处，由重力mg和桥面支持力FN的合力提供向心力．(1)在凸形桥最高点如图2所示，则有：F合＝mg－FN＝mv2R桥对车的支持力FN＝mg－mv2R据牛顿第三定律：车对桥压力大小FN′＝mg－mv2R可以看出：在最高点车对桥的压力小于车本身重力mg，当v＝gR时，压力为零，汽车处于完全失重状态．若gR≥v0，FNmg，汽车对桥的压力小于重力．这也是为什么桥一般设计成拱形的原因．当vgR时，车将脱离桥面．这显然是危险时，因此，越是在凸形桥上，越要控制车速．简言之，汽车行驶速度越大，汽车对桥面的压力越小，当汽车的速度为gR时，压力为零，这是汽车保持在桥顶运动的最大速度，超过这个速度，汽车将飞出桥顶．(2)在凹形桥最低点如图3所示，则有：F向＝FN－mg＝ma＝mv2R桥对车的支持力FN＝mg＋mv2R据牛顿第三定律，车对桥压力大小为FN′＝mg＋mv2R可以看出：在最低点车对桥压力大于车本身重力mg.这也是生活中人们基本上不会设计凹形桥的原因．图3►疑难详析◄1．如果物体从竖直曲面的内侧通过最高点时，情况如何？图4如图4所示，从竖直曲面的内侧通过最高点的物体受到重力G＝mg、曲面的内侧对物体的支持力F的作用，其动力学方程是G＋F＝m，即F＝m－mg.若要维持物体做圆周运动，则需满足F≥0，即v≥因此，是物体运动到最高点的最小速度．如翻滚过山车必须大于某一速度才能安全通过内轨道的最高点，正是这个道理．2．汽车不在拱形桥的最高点或最低点时，如图5所示．它的运动能用上面的方法求解吗？可以用上面的方法求解，但要注意向心力的来源发生了变化．如图5，重力沿半径方向的分力和垂直桥面的支持力共同提供向心力．设此时汽车与圆心的连线和竖直方向的夹角为θ，则有图5考点三离心现象及其应用►基础梳理◄(1)定义做匀速圆周运动的物体，在合外力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动，叫做离心运动．(2)条件分析①做圆周运动的物体，由于本身具有惯性，总是想沿着切线方向运动，只是由于向心力作用，使它不能沿切线方向飞出，而被限制着沿圆周运动，如图6中B情形所示．图6②当产生向心力的合外力消失，F＝0，物体便沿所在位置的切线方向飞出去，如图6中A所示．③当提供向心力的合外力不完全消失，而只是小于应当具有的向心力，即Fmrω2，即合外力不足以提供所需的向心力的情况下，物体沿切线与圆周之间的一条曲线运动，如图6中C所示．(3)离心运动的应用和危害利用离心运动制成离心机械，如：离心干燥器、洗衣机的脱水筒等．汽车、火车转弯处，为防止离心运动造成的危害，一是限定汽车和火车的转弯速度不能太大；二是把路面筑成外高内低的斜坡以增大向心力．说明：若合外力大于所需的向心力，物体离圆心将越来越近，即为近心运动．题型一生活中的圆周运动实例[例1]铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的，弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨道高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率，下表中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的轨道的高度差h：(g＝10m/s2)弯道半径r/m660330220165132110内外轨道高度差h/mm50100150200250300(1)据表中数据，导出h和r关系的表达式，并求出r＝440m时h的值.(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内、外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内、外轨的间距设计值L＝1435mm，结合表中的数据，算出我国火车的转弯速度v.(以km/h为单位，结果取整数)(设轨倾角很小时，正弦值按正切值处理)图7[解析](1)由表中数据可知，每组的h与r之积为常数，hr＝660×50×10－3m2＝33m2.当r＝440m时，h＝75mm.(2)如图7所示，内、外轨对车轮没有侧向压力时，火车的受力如图所示．则mgtanθ＝mv2r，θ很小，则有tanθ≈sinθ＝hL所以v＝ghrL＝10×331435×10－3m/s＝15m/s＝54km/h题后反思：近几年，人们对交通运输的快捷提出了更高的要求，为了提高运输力，国家对铁路不断进行提速，这就要求铁路转弯速率也需要提高．提速时应采取怎样的有效措施？由题中表达式v＝可知，提高速度可采用(1)适当增加内外轨的高度差h，(2)适当增加轨道半径r.如图8所示为一辆自行车的局部结构示意图，设连接脚踏板的连杆长为L1，由脚踏板带动半径为r1的大轮盘(牙盘)，通过链条与半径为r2的小轮盘(飞轮)连接，小轮盘带动半径为R的后轮转动，使自行车在水平路面上匀速前进．设L1＝18cm，r1＝12cm，r2＝6cm，R＝30cm，为了维持自行车以v＝3m/s的速度在水平路面上匀速前进．图8(1)人每分钟要踩脚踏板几圈？(2)假设自行车受到的阻力与速度成正比，当自行车以速度v1＝3m/s匀速前进时，受到的阻力为f＝24N，当自行车的速度v2＝5m/s时，求人蹬车的功率．题型二圆周运动中的临界问题图9[例2]如图9所示，细绳一端系着质量m′＝0.6kg的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑的小孔吊着质量m＝0.3kg的物体，m′的重心与圆孔距离为0.2m，并知m′和水平面的最大静摩擦力为2N．现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围，m会处于静止状态．(取g＝10m/s2)[解析]要使m静止，m′也应与平面相对静止，而m′与平面静止时有两个临界状态：当ω为所求范围最小值时，m′有向着圆心运动的趋势，水平面对m′的静摩擦力的方向背离圆心，大小等于最大静摩擦力2N.此时，对m′运用牛顿第二定律，有T－fmax＝m′ωr，且T＝mg解得ω1＝2.9rad/s.当ω为所求范围最大值时，m′有背离圆心运动的趋势，水平面对m′的静摩擦力的方向向着圆心，大小还等于最大静摩擦力2N.再对m′运用牛顿第二定律，有T＋fmax＝m′ωr，且T＝mg解得ω2＝6.5rad/s.所以，题中所求ω的范围是：2.9rad/sω6.5rad/s.[答案]2.9rad/sω6.5rad/s题后反思：一般求解“在什么范围内……”这一类的问题就是要分析两个临界状态．最大静摩擦力的方向与物体的相对运动趋势方向有关，当角速度最小时，有向着圆心的方向运动的趋势，当角速度达到最大的时候，有远离圆心的方向运动的趋势，因此出现了极值情况．图10应用2—1如图10所示，两个用相同材料制成的靠摩擦转动的轮A和B水平放置，两轮半径RA＝2RB.当主动轮A匀速转动时，在A轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在A轮边缘上．若将小木块放在B轮上，欲使木块相对B轮也静止，则木块距B轮转轴的最大距离为()A.B.C.D．RB解析：由图可知，当主动轮A匀速转动时，A，B两轮边缘上的线速度相同，由ω＝vR，得ωAωB＝vRAvRB＝RBRA＝12.由于小木块恰能在A边缘静止，则由静摩擦力提供的向心力达最大值μmg，得：μmg＝mω2ARA设放在B轮上能使木块相对静止的距B轮转轴的最大距离为r，则向心力由最大静摩擦力提供，故μmg＝mω2Br答案：C题型三圆周运动与机械能守恒定律的综合图11[例3]杂技演员作“水流星”表演如图11.一根绳子系着盛水的杯子，演员抡起绳子，杯子就做圆周运动．不管演员怎样抡，甚至杯子在竖直面内运动到最高点时，已经杯口朝下，水仍不从杯中流出．若某次表演中杯子的质量m1为100g，杯内水的质量m2为200g，杯子做圆周运动的半径为0.9m．试求杯子做圆周运动时，水恰好不被洒出的过程中，杯子在最高点的速度v1和在最低点杯底受到的压力FN各为多大？(空气阻力不计，g取10m/s2)[解析]重力恰好提供物体做圆周运动的向心力，由向心力公式，则m2g＝m2v21r①∴v1＝gr＝3m/s②设水杯及水在最低点的速度为v2，由机械能守恒定律，则12(m1＋m2)v21＋(m1＋m2)g·2r＝12(m1＋m2)v22③.设杯子对水的支持力为FN，由向心力公式，则FN－m2g＝m2v22r④由③④式解得FN＝12N.由牛顿第三定律知，水对杯底的压力为：FN′＝FN＝12N.[答案]3m/s12N题后反思：根据各过程的特点和遵循的物理规律去分析，题目会迎刃而解，当然在分析过程中要注意隐含条件的挖掘．其实这就是分析综合问题的基本思路．图12游乐场的过山车的运行过程可以抽象为图12所示模型．弧形轨道的下端与圆轨道相接使小球从弧形轨道上端A点静止滑下，进入圆轨道后沿圆轨道运动，最后离开．试分析A点离地面的高度h至少要多大，小球才可以顺利通过圆轨道最高点(已知圆轨道的半径为R，不考虑摩擦等阻力)．1．(2009·山东高考)下列实例属于超重现象的是()A．汽车驶过拱形桥顶端B．荡秋千的小孩通过最低点C．跳水运动员被跳板弹起，离开跳板向上运动D．火箭点火后加速升空解析：汽车驶过拱形桥顶端，有竖直向下的加速度，汽车处于失重状态，A错；荡秋千的小孩过最低点时，有竖直向上的加速度，小孩处于超重状态，B正确；跳水运动员离开跳板向上运动，只受重力，有竖直向下的加速度g，处于完全失重状态，C错；火箭点火后加速上升，有竖直向上的加速度．处于超重状态，故D正确．答案：BD2．汽车甲和汽车乙质量相等，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在乙车的外侧．两车沿半径方向受到的摩擦力分别为f甲和f乙．以下说法正确的是()A．f甲小于f乙B．f甲等于f乙C．f甲大于f乙D．f甲和f乙大小均与汽车速率无关解析：由牛顿第二定律得f＝m，当v相同时，f∝，因r甲r乙，所以f甲f乙，A对，B、C、D错．答案：A3．若以某固定点为起点画出若干矢量，分别代表运动质点在不同时刻的速度，则这些矢量的末端所形成的轨迹被定义为“速矢端迹”．由此可知()①匀速直线运动的速矢端迹是线段②匀加速直线运动的速矢端迹是射线③匀速圆周运动的速矢端迹是圆④简谐运动的速矢端迹是点A．①②B．②③C．③④D．①④解析：匀速直线运动的速度是恒定不变的．故其速矢端迹是点；匀加速直线运动的速度大小均匀增大，方向保持不变，故其速矢端迹是射线；匀速圆周运动的速度大小不变，方向时刻变化，速度方向每转360度完成一次周期性变化，故其速矢端迹是圆；简谐运动的速度大小和方向均是周期性变化的，但方向仍在一条直线上，故其速矢端迹是线段．故B正确．答案：B图134．一质量为m的金属小球拴在长为L的细线下端，细线上端固定在O点处，在悬点O的正下方P处钉有一光滑钉子，如图13所示．现将小球拉至悬线水平，然后释放．为使悬线碰到钉子后，小球能绕钉子在竖直平面内做完整的圆周运动，则OP的最小距离是多少？5．一水平放置的圆盘绕竖直固定轴转动，在圆盘上沿半径开有一条宽度为2mm的均匀狭缝．将激光器与传感器上下对准，使二者间连线与转轴平行，分别置于圆盘的上下两侧，且可以同步地沿圆盘半径方向匀速移动，激光器连续向下发射激光束．在圆盘转动过程中，当狭缝经过激光器与传感器之间时，传感器接收到一个激光信号，并将其输入计算机，经处理后画出相应图线．图14(a)为该装置示意图，图(b)为所接收的光信号随时间变化的图线，横坐标表示时间，纵坐标表示接收到的激光信号强度，图中Δt1＝1.0×10－3s，Δt2＝0.8×10－3s.图14(1)利用图(b)中的数据求1s时圆盘转动的角速度；(2)说明激光器和传感器沿半径移动的方向；(3)求图(b)中第三个激光信号的宽度Δt3.解析：(1)由图线读得，转盘的转动周期T＝0.8s角速度ω＝＝rad/s