【优化方案】2016高中数学-第一章-三角函数-5.1正弦函数的图像课件-新人教A版必修4

§5正弦函数的图像与性质5．1正弦函数的图像第一章三角函数1．问题导航(1)用“五点法”作正弦函数图像的关键是什么？(2)利用“五点法”作y＝sinx的图像时，x依次取－π，－π2，0，π2，π可以吗？(3)作正弦函数图像时应注意哪些问题？2．例题导读P27例1.通过本例学习，学会用五点法画函数y＝asinx＋b在[0，2π]上的简图．试一试：教材P28练习题你会吗？1．正弦函数的图像与五点法(1)图像：正弦函数y＝sinx的图像叫作__________，如图所示．(2)五点法：在平面直角坐标系中常常描出五个关键点(它们是正弦曲线与x轴的交点和函数取________、________时的点)：_______，____________，________，____________，________，用光滑的曲线顺次将它们连接起来，得到函数y＝sinx在[0，2π]上的简图，这种画正弦曲线的方法为“五点法”．正弦曲线最大值最小值(0，0)π2，1(π，0)3π2，－1(2π，0)(3)利用五点法作函数y＝Asinx(A0)的图像时，选取的五个关键点依次是：____________，____________，____________，____________，____________．(0，0)π2，A(π，0)32π，－A(2π，0)2．正弦曲线的简单变换函数y＝sinx与y＝sinx＋k图像间的关系．当k0时，把y＝sinx的图像向____________平移k个单位长度得到函数y＝sinx＋k的图像；当k0时，把y＝sinx的图像向____________平移|k|个单位长度得到函数y＝sinx＋k的图像．上下1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝sinx的图像与y轴只有一个交点．()(2)函数y＝sinx的图像介于直线y＝1与y＝－1之间．()(3)用五点法作函数y＝－2sinx在[0，2π]上的图像时，应选取的五个点是(0，0)，π2，－2，(π，0)，32π，2，(2π，0)．()(4)将函数y＝sinx，x∈[－π，π]位于x轴上方的图像保持不变，把x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方即可得到函数y＝|sinx|，x∈[－π，π]的图像．()√√√√解析：(1)正确．观察正弦函数的图像知y＝sinx的图像与y轴只有一个交点．(2)正确．观察正弦曲线可知正弦函数的图像介于直线y＝1与y＝－1之间．(3)正确．在函数y＝－2sinx，x∈[0，2π]的图像上起关键作用的五个点是(0，0)，π2，－2，(π，0)，32π，2，(2π，0)．(4)正确．当x∈[－π，π]时，y＝|sinx|＝sinx，sinx≥0，－sinx，sinx0，于是，将函数y＝sinx，x∈[－π，π]位于x轴上方的图像保持不变，把x轴下方的图像翻折到x轴上方即可得函数y＝|sinx|，x∈[－π，π]的图像．2．用五点法画y＝sinx，x∈[0，2π]的图像时，下列点不是关键点的是()A.π6，12B.π2，1C．(π，0)D．(2π，0)解析：用五点法画y＝sinx，x∈[0，2π]的图像，五个关键点是(0，0)，π2，1，(π，0)，32π，－1，(2π，0)．A3．用五点法画y＝sinx，x∈[0，2π]的简图时，所描的五个点的横坐标的和是________．解析：0＋π2＋π＋3π2＋2π＝5π.5π4．(1)正弦曲线在(0，2π]内最高点坐标为____________，最低点坐标为______________．(2)在同一坐标系中函数y＝sinx，x∈(0，2π]与y＝sinx，x∈(2π，4π]的图像形状________，位置________．(填“相同”或“不同”)解析：(1)由正弦曲线知，正弦曲线在(0，2π]内最高点为π2，1，最低点为3π2，－1.(2)在同一坐标系中函数y＝sinx，x∈(0，2π]与y＝sinx，x∈(2π，4π]的图像，形状相同，位置不同．π2，13π2，－1相同不同1．y＝sinx，x∈[0，2π]与y＝sinx，x∈R的图像间的关系(1)函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图像是函数y＝sinx，x∈R的图像的一部分．(2)因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sinx，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z且k≠0的图像与函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图像形状完全一致，因此将y＝sinx，x∈[0，2π]的图像向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)就可得到函数y＝sinx，x∈R的图像．2．“几何法”和“五点法”画正弦函数图像的优缺点(1)“几何法”的实质是利用正弦线进行的尺规作图，这样作图较精确，但较为烦琐．(2)“五点法”的实质是在函数y＝sinx的一个周期内，选取5个分点，也是函数图像上的5个关键点：最高点、最低点及平衡点，这五个点大致确定了函数一个周期内图像的形状．(3)“五点法”是画三角函数图像的基本方法，在要求精确度不高的情况下常用此法，要切实掌握好．另外与“五点法”作图有关的问题经常出现在高考试题中．3．关于“五点法”画正弦函数图像的要点(1)应用的前提条件是精确度要求不是太高．(2)五个点必须是确定的五点．(3)用光滑的曲线顺次连接时，要注意线的走向，一般在最高(低)点的附近要平滑，不要出现“拐角”现象．(4)“五点法”作出的是一个周期上的正弦函数图像，要得到整个正弦函数图像，还要“平移”．用五点法作正弦型函数的图像用五点法画函数y＝2sinx－1，x∈[0，2π]的简图．(链接教材P27例1)[解]步骤：①列表：x0π2π3π22πsinx010－10y－11－1－3－1②描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，－1)，π2，1，(π，－1)，3π2，－3，(2π，－1)．③连线：用光滑曲线将描出的五个点连接起来，得函数y＝2sinx－1，x∈[0，2π]的简图，如图所示．方法归纳作形如函数y＝asinx＋b，x∈[0，2π]的图像的步骤1．(1)函数f(x)＝asinx＋b，(x∈[0，2π])的图像如图所示，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝12sinx＋1，x∈[0，2π]B．f(x)＝sinx＋12，x∈[0，2π]C．f(x)＝32sinx＋1，x∈[0，2π]D．f(x)＝32sinx＋12，x∈[0，2π]A(2)用五点法作出下列函数的简图．①y＝2sinx，x∈[0，2π]；②y＝2－sinx，x∈[0，2π]．解：(1)将图像中的特殊点代入f(x)＝asinx＋b，x∈[0，2π]，不妨将(0，1)与π2，1.5代入得asin0＋b＝1，asinπ2＋b＝1.5，解得b＝1，a＝0.5，故f(x)＝12sinx＋1，x∈[0，2π]．(2)①列表：x0π2π3π22πy＝sinx010－10y＝2sinx020－20描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．②列表：x0π2π3π22πy＝sinx010－10y＝2－sinx21232描点并将它们用光滑的曲线连接，如图：利用正弦函数的图像求函数的定义域求函数f(x)＝lg(sinx)＋16－x2的定义域．(链接教材P30习题1－5A组T4)[解]由题意，x满足不等式组sinx0，16－x2≥0，即－4≤x≤4，sinx0，作出y＝sinx的图像，如图所示．结合图像可得：该函数的定义域为[－4，－π)∪(0，π)．方法归纳一些三角函数的定义域可以借助函数图像直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍．有时利用图像先写出在一个周期区间上的解集，再推广到一般情况．2．求函数y＝log21sinx－1的定义域.解：为使函数有意义，需log21sinx－1≥0，sinx0⇔0sinx≤12.根据正弦曲线得，函数定义域为2kπ，2kπ＋π6∪2kπ＋5π6，2kπ＋π，k∈Z.利用正弦函数的图像确定方程解的个数在同一坐标系中，作函数y＝sinx和y＝lgx的图像，根据图像判断出方程sinx＝lgx的解的个数．(链接教材P30习题1－5A组T1(1))[解]建立坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图像，再依次向右连续平移2π个单位，得到y＝sinx的图像．作出y＝lgx的图像，如图所示．由图像可知方程sinx＝lgx的解有3个．若本例中的函数y＝lgx换为y＝x2，则结果如何？解：在同一直角坐标系中画出函数y＝x2和y＝sinx的图像，如图所示．由图知函数y＝x2和y＝sinx和图像有两个交点，则方程x2－sinx＝0有两个根．方法归纳方程根(或个数)的两种判断方法(1)代数法：直接求出方程的根，得到根的个数．(2)几何法：①方程两边直接作差构造一个函数，作出函数的图像，利用对应函数的图像，观察与x轴的交点个数，有几个交点原方程就有几个根．②转化为两个函数，分别作这两个函数的图像，观察交点个数，有几个交点原方程就有几个根．3．(1)函数y＝2sinx与函数y＝x的图像的交点有()A．2个B．3个C．4个D．5个(2)研究方程10sinx＝x(x∈R)根的个数．B解：(1)在同一直角坐标系中作出函数y＝2sinx与y＝x的图像，由图像可以看出有3个交点．(2)如图所示，当x≥4π时，x10≥4π101≥sinx；当x＝52π时，sinx＝sin52π＝1，x10＝5π20，15π20，从而x0时，有3个交点，由对称性知x0时，有3个交点，加上x＝0时的交点为原点，共有7个交点．即方程有7个根．思想方法数形结合思想的应用求满足下列条件的角的范围．(1)sinx≥12；(2)sinx≤－22.[解](1)利用“五点法”作出y＝sinx的简图，过点0，12作x轴的平行线，在[0，2π]上，直线y＝12与正弦曲线交于π6，12，5π6，12两点．结合图形可知，在[0，2π]内，满足y≥12时x的集合为xπ6≤x≤5π6.因此，当x∈R时，若y≥12，则x的集合为x2kπ＋π6≤x≤2kπ＋56π，k∈Z.(2)同理，满足sinx≤－22的角的集合为x5π4＋2kπ≤x≤74π＋2kπ，k∈Z.[感悟提高]形如sinxa(a)的不等式，求角x的范围，一般采用数形结合的思想来解题，具体步骤：(1)画出y＝sinx的图像，画直线y＝a.(2)若解sinxa，则观察y＝sinx在直线y＝a上方的图像．这部分图像对应的x的范围，就是所求的范围．若解sinxa，则观察y＝sinx在直线y＝a下方的图像．这部分图像对应的x的范围，就是所求的范围．1．函数y＝1－sinx，x∈[0，2π]的大致图像是()B解析：利用五点法画图，函数y＝1－sinx，x∈[0，2π]的图像一定过点(0，1)，π2，0，(π，1)，32π，2，(2π，1)，故B项正确．2．已知点Mπ4，b在函数f(x)＝2sinx＋1的图像上，则b＝________．解析：b＝fπ4＝2sinπ4＋1＝2.23．若函数f(x)＝2sinx－1－a在π3，π上有两个零点，则实数a的取值范围是________________．[3－1，1)解析：令f(x)＝0得2sinx＝1＋a.作出y＝2sinx在x∈π3，π上的图像，如图所示．要使函数f(x)在π3，π上有两个零点，需满足3≤1＋a2，所以3－1≤a1.