郑君里信号与系统考研总复习

信号与系统信号与系统总复习总复习信号系统连续信号离散信号连续系统离散系统抽样定理抽样定理典型的时间信号序列的概念微分方程完全解=齐次解+特解差分方程完全解=齐次解+特解信号的运算奇异信号信号的分解序列的概念典型的离散信号信号的运算完全解=齐次解+特解=零状态相应+零输入相应卷积运算完全解=齐次解+特解=零状态相应+零输入相应卷积和运算卷积运算卷积和运算三大变换傅立叶变换拉普拉斯变换z变换傅立叶变换拉普拉斯变换z变换第一章绪论1、信号的概念2、分类：典型的连续时间信号：指数正弦复指数抽样钟形\指数、正弦、复指数、抽样、钟形、δ(t),u(t),eat,sin(ω0t),Sa(kt)3、信号的运算：\移位反褶尺度变换微分运算相加相乘\移位、反褶、尺度变换、微分运算、相加、相乘4、奇异信号：\单位斜变、阶跃、冲激（特性）、冲击偶5、信号的分解：\脉冲分量、6系统模型及其分类6、系统模型及其分类7、线性是不变系统的基本特性：\线性（叠加性均匀性）时不变特性微分特性因果特性\线性（叠加性、均匀性）、时不变特性、微分特性、因果特性8、系统分析方法：\输入输出描述法、状态变量描述法输输出描述法状态变量描述法两对关系式)sin()cos(tjtetjωωω+=欧拉公式)sin()cos(tjtetjωωω−=−公式)(1)sin(tjtjeetωωω−−=推出)(1)()(2)sin(tjtjteejtωωω−=推出公式)(2)cos(tjtjeetωωω+=第一章绪论关于冲激信号)(1)(taatδδ=尺度变换特性关于冲激信号a尺度变换特性)()0()()(tftftδδ=)()()()(tttftftt=δδ∫+∞)0()()(fdttftδ)()0()()(tftftδδ=∫+∞)()()()(000tttftftt−=−δδ∫∞−=)0()()(fdttftδ∫+∞∞−=−)()()(00tfdttfttδ)()(ttδδ偶函数)()(*)();()(*)()()(00ttftttftfttftt−=−=−=δδδδ偶函数00第二章连续时间系统的时域分析¾微分方程式的建立与求解¾零输入响应与零状态响应¾冲激响应与阶跃响应关系！¾卷积及其性质(方便求零状态响应)说明：原课件中涉及到的0点跳变、冲激函数匹配法不做要求。系统分析过程⎪⎪⎧⎧⎧端激励满足高阶微分方程中右齐次解：网络拓扑约束根据元件约束列写方程tetr)()(,:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎩⎪⎨⎧形式有关的函数形式与激励函数特解：齐次方程及其各阶导数都为零的端激励满足高阶微分方程中右齐次解：经典法trtetrh)()()(⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎨⎧⎪⎩可利用经典法求零输入双零法形式有关的函数形式与激励函数特解：解方程trp:)(⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎨域求解微分方程变换，在变换域法利用卷积积分法求解零状态双零法ZZ::⎪⎩⎪⎩经典法:前面电路分析课里已经讨论过，但与δ(t)有关的问题有待进一步解决——h(t)；卷积法:任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求卷积法:任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。(新方法)：与冲激函数、阶跃函数的卷积（一）冲激响应h(t)1）定义系统在单位冲激信号δ(t)的激励下产生的零状态响应。的零状态响应。2）求解2）求解形式与齐次解相同形式与齐次解相同第二章()()()τττd21∫∞∞−=tfftf卷积定义：∫∞−利用卷积可以求解系统的零状态响应。()()()()()thtethtetr∗=⊗=zs卷积的性质主要内容主要内容代数性质交换律交换律分配律结合律微分积分性质激数阶数卷结合律与冲激函数或阶跃函数的卷积第三章傅立叶变换™周期信号的傅立叶级数三角函数形式指数形式\三角函数形式、指数形式\典型信号的频谱：Gτ(t),δ(t),u(t),Sa(t)™傅立叶变换™傅立叶变换\非周期信号的傅立叶变换\傅立叶变换的性质符符™对称性，线性、尺度变换特性、时移性（符号相同），频移性（符号相反）™奇偶虚实性、微分特性、积分特性\卷积定理\周期信号的傅立叶变换——与单脉冲信号的傅立叶级数的系数的关系\抽样信号的傅立叶变换——与抽样脉冲序列的傅氏变换及原连续信号的傅立叶变换的关系傅立叶变换的关系™抽样定理\时域抽样定理频域抽样定理——注意2倍关系！！\时域抽样定理、频域抽样定理——注意2倍关系！！第三章傅立叶变换™周期信号的傅立叶级数∑∞ω+ω+=110)sincos()(nntnbtnaatf∑=ω+ω+1110)sincos()(nnntnbtnaatf称为f(t)的傅立叶级数（三角形式）三角形式傅立叶级数的傅里叶系数：∫=21)(1Tdttfa三角形式傅立叶级数的傅里叶系数：直流系数∫−=22101)(TdttfTa直流系数∫=211)cos()(2TTndttntfaω余弦分量∫−2111)()(TnfTT系数∫−=221111)sin()(2TTndttntfTbω正弦分量系数21T傅立叶级数与傅立叶系数的联系与别注意！系数傅立叶级数与傅立叶系数的联系与区别注意！指数形式傅立叶级数的傅里叶系数tjneFtf1)(ω∑∞=称为指数形式nneFtf)(∑−∞==的傅立叶级数∫−−+∞−∞∈=2111),(,d)(1TTtjnnntetfTFω=)(1ωnF∫−21TFn:指数形式傅立叶级数的傅立叶系数Fn:指数形式傅立叶级数的傅立叶系数已知某函数时域图形，会求其傅立叶级数33傅立叶变换对傅立叶变换对3.3.傅立叶变换对傅立叶变换对∫∞∞−−=dtetfFtjωω)()(傅立叶正变换傅立叶正变换=F[f(t)]()ωωωdeFtftj∫∞=1)(傅立叶反变换=F-1[F(ω)]()ωωπdeFtf∫∞−2)(傅立叶反变换[()]简写()()ωFtf↔时域信号f(t)的频谱典型信号的傅立叶变换对总结典型信号的傅立叶变换对总结()tsgn2⎟⎞⎜⎛ωττSaE()tEG()tsgnωj⎟⎠⎜⎝2τSaE()tEGτωαj+1()tuetα−()tδ1j1()ωπδ2teα−222α()ωπδ1+()te22ωα+2t()ωωπδj+()tu2)(τtEe−2)2(-eτωτπ⋅E傅立叶变换特性主要内容对称性质线性性质奇偶虚实性尺度变换性质时移特性频移特性微分性质时域积分性质第三章第三章()()()()•时域卷积定理()()()()ωω2211,FtfFtf↔↔若()()()()ωωFFtftf⋅↔∗则()()()()ωω2121FFtftf⋅↔∗则时域卷积对应频域频谱密度函数乘积。()()()()ωω2211,FtfFtf↔↔若•频域卷积定理()()()()ωω2211,tftf↔↔若()()()()ωω2121π21FFtftf∗↔⋅则卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系，在通信π2倍。各频谱函数卷积的时间函数的乘积π21↔卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系，在通信系统和信号处理研究领域中得到大量应用。一般周期信号傅立叶变换的几点认识般周期信号傅立叶变换的几点认识()()()11Tπ2ωωδωωnnFF−⋅=∑∞()();1T的频谱由冲激序列组成tf()()()11T∑∞−()谐波频率位置:1ωωn=()谱周期信号的频谱是离散成正比数的傅立叶级数相应的系与强度,)()(π2:11ωωnFtfnF()()表示的是频谱密度。因为谱线的幅度不是有限值ωF,2()是冲激函数处只存在于周期信号的,1ωωωnF=表明在无限小的频带范围内取得了无限大的频谱值表明在无限小的频带范围内，取得了无限大∞的频谱值。典型周期信号傅立叶变换™周期单位冲激序列的傅里叶变换™周期矩形脉冲序列的傅氏变换(二)抽样信号的傅立叶变换)()()(tftptfs⋅=)()()(fpfs若采用均匀抽样，抽样周期为Ts，则p(t)是一个周期为Ts∞若采用均匀抽样抽样周期为s则p()是个周期为s的周期信号抽样频率∑−∞=−⋅==nsnnPtpFTP)(2)]([)(ωωδπω则∫−−=22)(1sssTTtjnsndtetpTPω其中∑∞−==nFPPFF)()(*)(1)(ωωωωωs∑−∞=−==nsnsnFPPFF)()()(2)(ωωωωπω1、矩形脉冲抽样™即p(t)为周期矩形脉冲)(ωF0ωp(t)EnPsTtτssTπω2=)2(τωτssnnSaTEP=0sωsω−ω∑∞−=snFnSaEF)()()(ωωτωτω)(ωsF∑−∞==nsssnFSaTF)()2()(ωωω0sωsω−ω2、单位冲激抽样理想抽样™即p(t)为周期冲激脉冲)(ωFE即p(t)为周期冲激脉冲0p(t)ω)1(0tnPsT1ssTπω2=nTP1=0sT0sωsω−ωsT∞1)(ωsFsTE∑−∞=−=nsssnFTF)(1)(ωωω0sωsω−ω时域抽样等效于频域周期拓展总结总结™周期信号的傅立叶变换n∞是f(t)傅里叶级数的系数信谱离散)(2)(0ωωδπωnFFnnn−⋅⋅=∑∞=−∞=周期信号的频谱是离散的抽样信号的傅立叶变换是抽样脉冲序列p(t))()(snnsnFPFωωω−=∑∞=™抽样信号的傅立叶变换是抽样脉冲序列p(t)傅里叶级数的系数)()(snnsnFPFωωω∑−∞=抽样（离散）信号的频谱是周期的抽样（离散）信号的频谱是周期的(二）奈奎斯特（Nyqist）抽样率fs和抽样间隔Ts从前面的频谱图可以看出，从抽样信号重建原信号的必要条件：抽样频率大于等于原信号最高频率的2倍msmsff2or2≥≥ωω抽样频率msff2≥msfT21≤抽样间隔msff2min=T1奈奎斯特抽样频率25msfT21max=奈奎斯特抽样间隔第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析连续时间系统的s域分析™定义：™定义：\单边拉氏变换、双边、收敛域、常用函数的拉氏变换™拉氏变换的性质™拉氏变换的性质\线性、原函数微分、原函数积分、时域平移、s域平移、尺度变换、初值、终值尺度变换、初值、终值™卷积特性™拉氏逆变换™拉氏逆变换\部分分式展开法（求系数）系统函数H()™系统函数H(s)\定义（两种定义方式）求解种定义式\求解（依据两种定义方式）第章拉普拉斯变换第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析收敛域：实际上就是拉氏变换存在的条件；()00e)(limσσtftσt=−∞→三．一些常用函数的拉氏变换1.阶跃函数[]==∫∞−de1)(ttuLst阶跃函数ssst1e10=−∞−[]=⋅=∫0de1)(ttuL2.指数函数ss()∞[]==∫∞−−−0deeetLsttαtα()()=+−∞+−0esαtsαsα+1()ασ−3单位冲激信号0全s域平面收敛()[]()1de∫∞−tttLstδδ3.单位冲激信号全s域平面收敛()[]()1de0=⋅=∫tttLδδ()[]()tt∞∫()[]()0ede000ststtttttL−−=⋅−=−∫δδ4．tnu(t)[]∫∞−⋅=0detttLstnn⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⋅=∫∞−∞−0dee1ttstst111t⎤⎡∞0⎥⎦⎢⎣−∫00s∞−=estnt∫∞−−+1dettnstn201e11sssst=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=−∫∞−−1dttnstn2−0s∫+0detts∫=01dettsstn2=n[][]3222122tLtL=⋅==[][]1−nntLntL所以[][]32ssss3=n[][]236233LL[][]=tLstL1=n所以[]∫∞−⋅=0detttLst[][]4323633ssstLstL=⋅==LL∫∞−−=0de1stts[]1!+=nnsntL所以逆变换一般情况11211)()()()(+=kkkkksA12)1(1kkkk+++−L1111)()()(−−−−kkkpspsps121)(psps−+−++求k11，方法同第一种情况：求k11，方法同第一种情况：11)()()(1111pskpssFpssFk==−==求其他系数，要用下式：id11−kisFsikpsiiL,3,2,1)(dd)!1(11111=−==−d1)(