高中数学高考总复习平面向量的数量积及向量的应用习题及详解[1]

高考总复习含详解答案高中数学高考总复习平面向量的数量积及向量的应用习题及详解一、选择题1．(文)(2010·东北师大附中)已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是()A．－4B．4C．－2D．2[答案]A[解析]a在b方向上的投影为a·b|b|＝－123＝－4.(理)(2010·浙江绍兴调研)设a·b＝4，若a在b方向上的投影为2，且b在a方向上的投影为1，则a与b的夹角等于()A.π6B.π3C.2π3D.π3或2π3[答案]B[解析]由条件知，a·b|b|＝2，a·b|a|＝1，a·b＝4，∴|a|＝4，|b|＝2，∴cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝44×2＝12，∴〈a，b〉＝π3.2．(文)(2010·云南省统考)设e1，e2是相互垂直的单位向量，并且向量a＝3e1＋2e2，b＝xe1＋3e2，如果a⊥b，那么实数x等于()A．－92B.92C．－2D．2[答案]C[解析]由条件知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，∴a·b＝3x＋6＝0，∴x＝－2.(理)(2010·四川广元市质检)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，2)，且m＝ta＋b，n＝a－kb(t、k∈R)，则m⊥n的充要条件是()A．t＋k＝1B．t－k＝1C．t·k＝1D．t－k＝0[答案]D高考总复习含详解答案[解析]m＝ta＋b＝(2t－1，t＋2)，n＝a－kb＝(2＋k,1－2k)，∵m⊥n，∴m·n＝(2t－1)(2＋k)＋(t＋2)(1－2k)＝5t－5k＝0，∴t－k＝0.3．(文)(2010·湖南理)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB→·AC→等于()A．－16B．－8C．8D．16[答案]D[解析]因为∠C＝90°，所以AC→·CB→＝0，所以AB→·AC→＝(AC→＋CB→)·AC→＝|AC→|2＋AC→·CB→＝AC2＝16.(理)(2010·天津文)如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC→＝3BD→，|AD→|＝1，则AC→·AD→＝()A．23B.32C.33D.3[答案]D[解析]∵AC→＝AB→＋BC→＝AB→＋3BD→，∴AC→·AD→＝(AB→＋3BD→)·AD→＝AB→·AD→＋3BD→·AD→，又∵AB⊥AD，∴AB→·AD→＝0，∴AC→·AD→＝3BD→·AD→＝3|BD→|·|AD→|·cos∠ADB＝3|BD→|·cos∠ADB＝3·|AD→|＝3.4．(2010·湖南省湘潭市)设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝()A．150°B．120°C．60°D．30°[答案]B[解析]∵a＋b＝c，|a|＝|b|＝|c|≠0，∴|a＋b|2＝|c|2＝|a|2，∴|b|2＋2a·b＝0，∴|b|2＋2|a|·|b|·cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝－12，∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝120°.5．(2010·四川双流县质检)已知点P在直线AB上，点O不在直线AB上，且存在实数t高考总复习含详解答案满足OP→＝2tPA→＋tOB→，则|PA→||PB→|＝()A.13B.12C．2D．3[答案]B[解析]∵OP→＝2t(OA→－OP→)＋tOB→，∴OP→＝2t2t＋1OA→＋t2t＋1OB→，∵P在直线AB上，∴2t2t＋1＋t2t＋1＝1，∴t＝1，∴OP→＝23OA→＋13OB→，∴PA→＝OA→－OP→＝13OA→－13OB→，PB→＝OB→－OP→＝23OB→－23OA→＝－2PA→，∴|PA→||PB→|＝12.6．(文)平面上的向量MA→、MB→满足|MA→|2＋|MB→|2＝4，且MA→·MB→＝0，若向量MC→＝13MA→＋23MB→，则|MC→|的最大值是()A.12B．1C．2D.43[答案]D[解析]∵MA→·MB→＝0，∴MA→⊥MB→，又∵|MA→|2＋|MB→|2＝4，∴|AB|＝2，且M在以AB为直径的圆上，如图建立平面直角坐标系，则点A(－1,0)，点B(1,0)，设点M(x，y)，则x2＋y2＝1，MA→＝(－1－x，－y)，MB→＝(1－x，－y)，∵MC→＝13MA→＋23MB→＝13－x，－y，高考总复习含详解答案∴|MC→|2＝13－x2＋y2＝109－23x，∵－1≤x≤1，∴x＝－1时，|MC→|2取得最大值为169，∴|MC→|的最大值是43.(理)(2010·山东日照)点M是边长为2的正方形ABCD内或边界上一动点，N是边BC的中点，则AN→·AM→的最大值为()A．8B．6C．5D．4[答案]B[解析]建立直角坐标系如图，∵正方形ABCD边长为2，∴A(0,0)，N(2，－1)，AN→＝(2，－1)，设M坐标为(x，y)，AM→＝(x，y)由坐标系可知0≤x≤2①－2≤y≤0②∵AN→·AM→＝2x－y，设2x－y＝z，易知，当x＝2，y＝－2时，z取最大值6，∴AN→·AM→的最大值为6，故选B.7．如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，BC＝7，则AO→·BC→等于()A.32B.52C．2D．3[答案]B[解析]AO→·BC→＝AO→·(AC→－AB→)＝AO→·AC→－AO→·AB→，因为OA＝OB.所以AO→在AB→上的投影为12|AB→|，所以AO→·AB→＝12|AB→|·|AB→|＝2，同理AO→·AC→＝12|AC→|·|AC→|＝92，故AO→·BC→＝92－2＝52.8．(文)已知向量a、b满足|a|＝2，|b|＝3，a·(b－a)＝－1，则向量a与向量b的夹角为()高考总复习含详解答案A.π6B.π4C.π3D.π2[答案]C[解析]根据向量夹角公式“cos〈a，b〉＝a·b|a||b|求解”．由条件得a·b－a2＝－1，即a·b＝－3，设向量a，b的夹角为α，则cosα＝a·b|a||b|＝32×3＝12，所以α＝π3.(理)(2010·黑龙江哈三中)在△ABC中，AB→·BC→∈38，338，其面积S＝316，则AB→与BC→夹角的取值范围是()A.π6，π4B.π6，π3C.π4，π3D.π6，3π4[答案]A[解析]设〈AB→，BC→〉＝α，∵AB→·BC→＝|AB→|·|BC→|cosα，S＝12|AB→|·|BC→|·sin(π－α)＝12|AB→|·|BC→|·sinα＝316，∴|AB→|·|BC→|＝38sinα，∴AB→·BC→＝3cosα8sinα＝38cotα，由条件知38≤38cotα≤338，∴1≤cotα≤3，∵AB→·BC→0，∴α为锐角，∴π6≤α≤π4.9．(文)(2010·云南省统考)如果A是抛物线x2＝4y的顶点，过点D(0,4)的直线l交抛物线x2＝4y于B、C两点，那么AB→·AC→等于()A.34B．0C．－3D．－34[答案]B[解析]由题意知A(0,0)，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，直线l：y＝kx＋4，由x2＝4yy＝kx＋4消去y得，x2－4kx－16＝0，∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－16，∴y1·y2＝(kx1＋4)(kx2＋4)＝k2x1x2＋4k(x1＋x2)＋16＝－16k2＋16k2＋16＝16，高考总复习含详解答案∴AB→·AC→＝x1x2＋y1y2＝0.(理)(2010·南昌市模考)如图，BC是单位圆A的一条直径，F是线段AB上的点，且BF→＝2FA→，若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则FD→·FE→的值是()A．－34B．－89C．－14D．不确定[答案]B[解析]∵BF→＝2FA→，∴FA→＝13BA→，∴|FA→|＝13|BA→|＝13，FD→·FE→＝(FA→＋AD→)·(FA→＋AE→)＝(FA→＋AD→)·(FA→－AD→)＝|FA→|2－|AD→|2＝19－1＝－89.10．(2010·福建莆田一中)设O为坐标原点，A(1,1)，若点B(x，y)满足x2＋y2－2x－2y＋1≥01≤x≤21≤y≤2，则OA→·OB→取得最小值时，点B的个数是()A．1B．2C．3D．无数个[答案]B[解析]∵x2＋y2－2x－2y＋1＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝1.∴可行域为图中阴影部分，高考总复习含详解答案∵OA→·OB→＝|OA→|·|OB→|·cos〈OA→，OB→〉，又|OA→|为定值，∴当OB→·cos〈OA→，OB→〉取最小值时，OA→·OB→取最小值，∵y＝cosx在0，π2上为减函数，∴由图可知，当点B在E、F位置时，∠AOB最大，|OB→|最小，从而OA→·OB→取最小值，故选B.[点评]可用数量积的坐标表示求解，设B(x，y)，令OA→·OB→＝x＋y＝t，则y＝－x＋t，当直线y＝－x＋t过B1、B2两点时，t最小，即tmin＝3.∴当OA→·OB→取得最小值时，点B的个数为2.二、填空题11．(2010·苏北四市)如图，在平面四边形ABCD中，若AC＝3，BD＝2，则(AB→＋DC→)·(AC→＋BD→)＝______.[答案]5[解析]设AC与BD相交于点O，则(AB→＋DC→)·(AC→＋BD→)＝[(OB→－OA→)＋(OC→－OD→)]·(AC→＋BD→)＝[(OB→－OD→)＋(OC→－OA→)]·(AC→＋BD→)＝(DB→＋AC→)(AC→＋BD→)＝|AC→|2－|BD→|2＝5.高考总复习含详解答案12．(文)(2010·江苏洪泽中学月考)已知O、A、B是平面上不共线三点，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，若|OA→|＝7，|OB→|＝5，则OP→·(OA→－OB→)的值为________．[答案]12[解析]PA→＝PO→＋OA→，PB→＝PO→＋OB→，由条件知，|OA→|2＝49，|OB→|2＝25，|PA→|＝|PB→|，∴|PO→＋OA→|2＝|PO→＋OB→|2，即|PO→|2＋|OA→|2＋2PO→·OA→＝|PO→|2＋|OB→|2＋2PO→·OB→，∴PO→·(OA→－OB→)＝－12，∴OP→·(OA→－OB→)＝12.(理)(2010·广东茂名市)O是平面α上一点，A、B、C是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P满足OP→＝OA→＋λ(AB→＋AC→)，则λ＝12时，PA→·(PB→＋PC→)的值为______．[答案]0[解析]由已知得OP→－OA→＝λ(AB→＋AC→)，即AP→＝λ(AB→＋AC→)，当λ＝12时，得AP→＝12(AB→＋AC→)，∴2AP→＝AB→＋AC→，即AP→－AB→＝AC→－AP→，∴BP→＝PC→，∴PB→＋PC→＝PB→＋BP→＝0，∴PA→·(PB→＋PC→)＝PA→·0＝0，故填0.13．(2010·安徽巢湖市质检)已知A1，A2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右顶点，P是过左焦点F且垂直于A1A2的直线l上的一点，则PA1→·A1A2→＝________.[答案]－20[解析]由条件知A1(－5,0)，A2(5,0)，F(－3,0)，设P(－3，y0)，则A1A2→＝(10,0)，PA1→＝(－2，－y0)，∴PA1→·A1A2→＝－20.高考总复习含详解答案14．(2010·福建厦门质检)已知向量an＝(cosnπ7，sinnπ7)(n∈N*)，|b|＝1.则函数y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋…＋|a141＋b|2的最大值为________．[答案]284[解析]∵|b|＝1，∴设b＝(cosθ，sinθ)，∵an2＝cos2nπ7＋sin22nπ7＝1(n∈N)，an·b＝cosnπ7cosθ＋sinnπ7sinθ，∴y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋…＋|a141＋b|2＝(|a1|2＋|a2|2＋…＋|a141|2)＋141|b|2＋2(a1·b＋a2·b＋…＋an·b)＝282＋2cosθcosπ7＋cos2π7＋…＋cos141π7＋2sinθ