重庆理工大学高等数学下模拟试卷一(答案已附后)

高等数学下模拟试卷一一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）。在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.微分方程xydyedx的通解是（）A、yxeeCB、yxeeCC、yxeeCD、yxeeC2.函数2uxyz在点(1,1,2)处沿l（）的方向导数最大A.(2,4,1)B.(4,2,1)C.(2,4,1)D.(2,4,1)3.zxyze，则zzxy（）A.2B.1C.0D.24.原点到平面326140xyz的距离d()A.14B.17C.7D.25.曲线212xyzy在xoz面上的投影曲线为()A.直线B.抛物线C.圆D.点6.若级数1nnu收敛(0,1,2,)nun，则级数11nnu（）A、收敛B、发散C、收敛且1111nnnnuuD、可能收敛可能发散7.L是抛物线2yx上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧，则曲线积分Lxdy为（）A、1/2B、3/2C、2/3D、18.D为环形域：22222221214,,,DDxyIxydIxyd，则（）A．11/2IB．21IC．12IID.12II9.设是平面4xyz被柱面221xy截出的有限部分，则yds（）A、B、0C、43D、43310.设()fx是周期为2的周期函数，它在,上的表达式为()fxx，则()fx展开成傅里叶级数，其系数nb（）A、4nB、2nC、204nnn为偶数为奇数D、0二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11.函数2xzy当2,1xy时的全微分dz_______.12.极限(,)(2,0)sin()limxyxyy＝.13.),(22xyyxfz，则xz＝______.14.设2sinzyx，则2zxy＝______.15．交换积分次序1303(,)ydyfxydx__________16.设345aijk，22bijk，则a与b之间的夹角为____17.(2,3)22(1,1)xydxxydy＝__________.18.函数1()4fxx展开成x的幂级数为()fx__________19．幂级数113nnnxn的收敛半径是_______.20．若过曲面224zxy上点P处的切平面平行于平面2210xyz，则点P的坐标为_________三、求解下列各题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）。21．过点(2,1,1)A作平面2390xyz的垂线，求该直线的方程及垂足的坐标。.22.求函数zyxu22在条件1222zyx下可能的极值点。23．计算(24)(536)Lxydxyxdy，其中L为圆周122yx，取逆时针方向。24.求()()(),xydydzyzdzdxxyzdxdy其中是介于0,1zz之间的圆柱体229xy的整个表面的外侧。.25.求22xydv，其中是由1z和22yxz围成的区域。26.求微分方程234yyyx的通解。四、应用题（本题6分）27.设平面薄片所占的闭区域D由直线2,xyyx和x轴所围成，它的面密度xy，求该薄片的质量。五、证明题（6分）28.用级数收敛的必要条件证明：40!limnnn参考答案与评分标准一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）。AACDA,BCDBD二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11.44dxdy12.213.122xfyf14.2cosyx15.3300(,)xdxfxydy16.417.35218.10(44)4nnnxx19.320.(1,1,2)三、求解下列各题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）21.解：直线方程为211213xyz（4分）即参数方程为22113xtytzt代入平面方程得：12t（6分）故垂足为31(3,,)22（8分）22.解：拉格朗日函数为22222(1)Lxyzxyz（3分）122222xyzLxLyLz（5分）解方程组2221202202201xyzxyz得：13322323xyz（7分）故可能的极值点是122(,,)333及122(,,)333（8分）23.解：24,536PxyQyx（2分）原式DQ=()44DPddxy（8分）24.解：,,PxyQyzRxyz（3分）原式=()327PQRdvdvxyz（8分）25.解：原式22112200=dddzdddz（6分）415（8分）26.解：特征方程为：2230rr123,1rr所以230yyy的通解为312xxYCeCe（4分）设特解为*yaxb（6分）代入原方程求得：48,39ab故通解为3124839xxyCeCex（8分）四、应用题（本题6分）27.解：12013yyDMxyddyxydx（6分）五、证明题（6分）28、证明：对正项级数14!nnn114!limlim01(1)!4nnnnnnanan（4分）所以14!nnn收敛故：40!limnnn（6分）