抛物线习题精选精讲�1�抛物线——二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法�可抛物线只有一种�到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1�这使它既与椭圆、双曲线相依相伴�又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1�既使它享尽和谐之美�又生出多少华丽的篇章.【例1】P为抛物线pxy22�上任一点�F为焦点�则以PF为直径的圆与y轴��.A相交.B相切.C相离.D位置由P确定【解析】如图�抛物线的焦点为,02pF�������准线是:2plx��.作PH⊥l于H�交y轴于Q�那么PFPH��且2pQHOF��.作MN⊥y轴于N则MN是梯形PQOF的中位线���111222MNOFPQPHPF����.故以PF为直径的圆与y轴相切�选B.【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说�其结论则分别是相离或相交的.�2�焦点弦——常考常新的亮点弦有关抛物线的试题�许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质�对破解这些试题是大有帮助的.【例2】过抛物线��022�ppxy�的焦点F作直线交抛物线于����1122,,,AxyBxy两点�求证��1�12ABxxp����2�pBFAF211��【证明】�1�如图设抛物线的准线为l�作1AAl�11111,2pABBlBAAx����于�则AF�122pBFBBx���.两式相加即得�12ABxxp����2�当AB⊥x轴时�有AFBFp���112AFBFp���成立�当AB与x轴不垂直时�设焦点弦AB的方程为�2pykx��������.代入抛物线方程�XYPHMNO(,0)2pF:2plx=-22ypx=QXYFA(x,y)11B(x,y)22A1B1l2222pkxpx��������.化简得�����222222014pkxpkxk����∵方程�1�之二根为x1�x2�∴1224kxx��.��122111212121111112224xxpppppAFBFAABBxxxxxx�����������������121222121222424xxpxxppppppxxpxx������������.故不论弦AB与x轴是否垂直�恒有pBFAF211��成立.�3�切线——抛物线与函数有缘有关抛物线的许多试题�又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程�是解题者不可或缺的基本功.【例3】证明�过抛物线22ypx�上一点M�x0�y0�的切线方程是�y0y=p�x+x0�【证明】对方程22ypx�两边取导数�22.pyypyy�������切线的斜率00xxpkyy����.由点斜式方程�����20000001pyyxxyypxpxyy�������20021ypx��代入��即得�y0y=p�x+x0��4�定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在许多不不易发现�却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们�在解题中常会有意想不到的收获.例如�1.一动圆的圆心在抛物线xy82�上�且动圆恒与直线02��x相切�则此动圆必过定点����������.4,0.2,0.0,2.0,2ABCD�显然.本题是例1的翻版�该圆必过抛物线的焦点�选B.2.抛物线22ypx�的通径长为2p�3.设抛物线22ypx�过焦点的弦两端分别为����1122,,,AxyBxy�那么�212yyp��以下再举一例【例4】设抛物线22ypx�的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1�证明�以A1B1为直径的圆必过一定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径�那么A1B1=AB=2p�而A1B1与AB的距离为p�可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想�一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明.【证明】如图设焦点两端分别为����1122,,,AxyBxy�那么�22121112.yypCACByyp������设抛物线的准线交x轴于C�那么.CFp�2111111.90AFBCFCACBAFB�������中故.这就说明�以A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点.●通法特法妙法�1�解析法——为对称问题解困排难解析几何是用代数的方法去研究几何�所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题�如对称问题等�.【例5】�07.四川文科卷.10题�已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B�则|AB|等于��A.3B.4C.32D.42【分析】直线AB必与直线x+y=0垂直�且线段AB的中点必在直线x+y=0上�因得解法如下.【解析】∵点A、B关于直线x+y=0对称�∴设直线AB的方程为�yxm��.由��223013yxmxxmyx�������������设方程�1�之两根为x1�x2�则121xx���.设AB的中点为M�x0�y0��则120122xxx����.代入x+y=0�y0=12.故有11,22M�������.从而1myx���.直线AB的方程为�1yx��.方程�1�成为�220xx���.解得�2,1x���从而1,2y���故得�A�-2�-1��B�1�2�.32AB���选C.�2�几何法——为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的发展�但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算�这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状�人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法�其中最有成效的就是几何法.【例6】�07.全国1卷.11题�抛物线24yx�的焦点为F�准线为l�经过F且斜率为3的直线与抛XYABFA1B11MCXOYABM0lxy+=ÿxyM(x,y)F1(-c,0)F2(c,0)OH2:alxc=-r1r2r2物线在x轴上方的部分相交于点A�AKl⊥�垂足为K�则AKF△的面积��A�4B�33C�43D�8【解析】如图直线AF的斜率为3时∠AFX=60°.△AFK为正三角形.设准线l交x轴于M�则2,FMp��且∠KFM=60°�∴234,4434AKFKFS�����.选C.【评注】�1�平面几何知识�边长为a的正三角形的面积用公式234Sa��计算.�2�本题如果用解析法�需先列方程组求点A的坐标��再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难�但决没有如上的几何法简单.�3�定义法——追本求真的简单一着许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真�用最原始的定义去做�反而特别简单.【例7】�07.湖北卷.7题�双曲线22122:1(00)xyCabab�����的左准线为l�左焦点和右焦点分别为1F和2F�抛物线2C的线为l�焦点为21FC�与2C的一个交点为M�则12112FFMFMFMF�等于��A�1�B�1C�12�D�12【分析】这道题如果用解析法去做�计算会特别繁杂�而平面几何知识又一时用不上�那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.如图�我们先做必要的准备工作�设双曲线的半焦距c�离心率为e�作MHlH�于�令1122,MFrMFr��.∵点M在抛物线上�1112222,MFMFrMHMFreMHMFr������故�这就是说�12||||MFMF的实质是离心率e.其次�121||||FFMF与离心率e有什么关系�注意到���1212111122111FFerrceaeeMFrrre���������������.XYOF(1,0)AK60°Y2=2pxL:x=-1M这样�最后的答案就自然浮出水面了�由于��12112||||11||||FFMFeeMFMF������.∴选A..�4�三角法——本身也是一种解析三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段�可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数�然后根据各种三角关系实施“九九归一”——达到解题目的.因此�在解析几何解题中�恰当地引入三角资源�常可以摆脱困境�简化计算.【例8】�07.重庆文科.21题�如图�倾斜角为a的直线经过抛物线xy82�的焦点F�且与抛物线交于A、B两点。�Ⅰ�求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程��Ⅱ�若a为锐角�作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P�证明|FP|-|FP|cos2a为定值�并求此定值。【解析】�Ⅰ�焦点F�2�0��准线;2lx��.�Ⅱ�直线AB�����tan21.yx���28yx�代入�1��整理得���2tan816tan02yy�����设方程�2�之二根为y1�y2�则12128tan16yyyy�����������.设AB中点为��1200020044cot,,2tancot24cot2yyyMxyxy������������������则AB的垂直平分线方程是���24cotcot4cot2yx��������.令y=0�则��224cot64cot6xP������有�0故��2224cot624cot14cosFPOPOF�����������于是|FP|-|FP|cos2a=��2224csc1cos24csc2sin8���������故为定值.�5�消去法——合理减负的常用方法.避免解析几何中的繁杂运算�是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求�它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.【例9】是否存在同时满足下列两条件的直线l��1�l与抛物线xy82�有两个不同的交点A和B��2�线段AB被直线1l�x+5y-5=0垂直平分.若不存在�说明理由�若存在�求出直线l的方程.AM【解析】假定在抛物线xy82�上存在这样的两点����1122.AxyBxy���则有�������211121212222888yxyyyyxxyx����������������1212128AByykxxyy������∵线段AB被直线1l�x+5y-5=0垂直平分�且1155lABkk������即��1285yy��1285yy���.设线段AB的中点为��12000425yyMxyy�����则.代入x+5y-5=0得x=1.于是�AB中点为415M�������.故存在符合题设条件的直线�其方程为���4512552105yxxy�������即��6�探索法——奔向数学方法的高深层次有一些解析几何习题�初看起来好似“树高荫深�叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析�探索规律�不断地猜想——证明——再猜想——再证明.终于发现“无限风光在险峰”.【例10】�07.安徽卷.14题�如图�抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于点A�将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,„,Pn-1,过这些分点分别作x轴的垂线�与抛物线的交点依次为Q1�Q2�„�Qn-1�从而得到n-1个直角三角形△Q1OP1,△Q2P1P2,„,△Qn-1Pn-1Pn-1,当n→∞时�这些三角形的面积之和的极限为.【解析】∵11OAn���图中每个直角三角形的底边长均为设OA上第k个分点为2220.11.kkkPyxynn������������代入�第k个三角形的面积为�2111.2kkann�����������������22212212114111212nnnnSnnnn��������������������.故这些三角形的面积之和的极限����21411111limlim1412123nnnnSnnn�����������������������抛物线定义的妙用对于抛物线有关问题的求解�若能巧妙地应用定义思考�常能化繁为简�优化解题思路�提高思维能力。现举例说明如下。一、求轨迹�或方程�例1.已知动点M的坐标满足方程�则动点M的轨迹是��A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.以上都不对解�由题意得�即动点到直线的距离等于它到原点�0�0�的距离由抛物线定义可知�动点M的轨迹是以原点�0�0�为焦点�以直线为准线的抛物线。故选C。二、求参数的值例2.已知抛物线的顶点在原点�焦点在y轴上�抛物线上一点到焦点距离为5�求m的值。解�设抛物线方程为�准线方程�∵点M到焦点距离与到准线距离相等解得�∴抛物线方程为把代入得�三、求角例3.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点�