对数函数与指数函数的导数一

用心爱心专心121号编辑1对数函数与指数函数的导数一课题：3．5对数函数与指数函数的导数(1)教学目的：1.理解掌握对数函数的导数的两个求导公式.2.在学习了函数四则运算的求导法则与复合函数求导法则的基础上，应用对数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数奎屯王新敞新疆教学重点：应用对数函数的求导公式求简单的初等函数的导数．教学难点：对数函数的导数的记忆，对数函数求导公式的灵活运用.授课类型：新授课奎屯王新敞新疆课时安排：1课时奎屯王新敞新疆教具：多媒体、实物投影仪奎屯王新敞新疆教学过程：一、复习引入：1.常见函数的导数公式：0'C；1)'(nnnxx；xxcos)'(sin；xxsin)'(cos奎屯王新敞新疆2.法则1)()()]()(['''xvxuxvxu．法则2[()()]'()()()'()uxvxuxvxuxvx,[()]'()CuxCux奎屯王新敞新疆法则3'2''(0)uuvuvvvv奎屯王新敞新疆3.复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f((x))在点x处也有导数，且xuxuyy'''或f′x((x))=f′(u)′(x).4.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数奎屯王新敞新疆5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．奎屯王新敞新疆二、讲解新课：⒈对数函数的导数（1）：xx1)'(ln奎屯王新敞新疆证明：∵xxfyln)(∴xxxxxxylnln)ln()1ln(xx，∴)1ln(1xxxxy=)1ln(1xxxxxxxxxx)1ln(1∴xyyx0lim'xxxxxx)1ln(lim10])1(limln[10xxxxxxxex1ln1．用心爱心专心121号编辑2即xx1)'(ln．附：重要极限exxx)11(lim或exxx10)1(lim奎屯王新敞新疆2.对数函数的导数（2）：exxaalog1)'(log奎屯王新敞新疆证明：根据对数的换底公式exxaaxxaalog11ln1)'lnln()'(log．根据对数函数的求导公式以及函数的四则运算的求导法则、复合函数的求导法则，我们可以求一些简单函数的导数．三、讲解范例：例1求)132ln(2xxy的导数．解：y′=［ln(2x2+3x+1)］′=13212xx(2x2+3x+1)′=132342xxx例2求21lgxy的导数．解法一：y′=(lg21x)′=211xlge·(21x)′=21lgxe·21·(1－x2)21(1－x2)′=21lgxe·2121x·(－2x)=1lg1lg22xexxex奎屯王新敞新疆分析：对数函数，可以先把它化简，然后根据求导法则进行求导奎屯王新敞新疆解法二：∵y=lg2112xlg(1－x2)∴y′=［21lg(1－x2)］′=21121xlge(1－x2)′=)1(2lg2xe·(－2x)=1lg2xex奎屯王新敞新疆说明：真数中若含乘方或开方、乘法或除法的，均可先变形再求导．实际上，解法1中uylg，vu，21xv，取了两个中间变量，属于多重复合．而解法2中uylg21，21xu，仅有一次复合，所以其解法显得简单，不易出错．例3求函数y=ln(12x－x)的导数.用心爱心专心121号编辑3分析：由复合函数求导法则：y′x=y′u·u′x对原函数由外向内逐个拆成几个简单的基本初等函数.解：)1(1122xxxxy122211[(1)21)21xxxx221(1)11xxxx2222111111xxxxxx例4若f(x)=ln(lnx)，那么f′(x)|x=e=.(B)A.eB.e1C.1D.以上都不对解：f′(x)=［ln(lnx)］′=xln1·(lnx)′=xxln1奎屯王新敞新疆f′(x)|x=e=eeln1=e1奎屯王新敞新疆例5y=ln［ln(lnx)］的导数是(C)A.)ln(ln1xxB.)ln(lnln1xxC.)ln(lnln1xxxD.)ln(ln1x解：y′=)ln(ln1x［ln(lnx)］′=)ln(ln1x·xln1(lnx)′=)ln(ln1x·xln1·x1=)ln(lnln1xxx所以用复合函数的求导法则时，要由外向内逐层求导，直到不能求导为止.例6求y=ln|x|的导数.解：当x＞0时，y=lnx.y′=(lnx)′=x1；当x＜0时，y=ln(－x)，y′=［ln(－x)］′=x1(－1)=x1，∴y′=x1错误方法：y′=(ln|x|)′=||1x，|x|可以看成ln|x|的中间变量，对|x|还要求导.所以以后遇到要求含有绝对值的函数的导数时，首先要把绝对值去掉，分情况讨论.例7求y=loga21x的导数.用心爱心专心121号编辑4解：y′=(loga21x)′=211xlogae·(21x)′221221log2)1(211logxexxxxeaa奎屯王新敞新疆例8（仅教师参考）求y=nxx)(ln的导数.分析：这类函数是指数上也是含有x的幂函数.这样用以前学过的幂函数的求导公式就行不通了.以前指数是常数的幂函数.像形如(u(x))v(x)的函数的求导，它的方法可以是两边取自然对数，然后再对x求导.解：y=nxx)(ln两边取自然对数.lny=lnnxx)(ln=(lnx)n·lnx=(lnx)n+1.两边对x求导，y1y′=(n+1)(lnx)n·(lnx)′=(n+1)xxn)(ln∴y′=xxnn))(ln1(·y=xxnn))(ln1(·nxx)(ln=(n+1)(lnx)n·1)(lnnxx.四、课堂练习：求下列函数的导数.1.y=xlnx奎屯王新敞新疆解：y′=(xlnx)′=x′lnx+x(lnx)′=lnx+x·x1=lnx+12.y=lnx1奎屯王新敞新疆解：y′=(lnx1)′=x11(x1)′=x·(－1)·x－2=－x－1=－x1.3.y=loga(x2－2).解：y′=［loga(x2－2)］′=2log2xea(x2－2)′=2log22xexa.4.y=lg(sinx)奎屯王新敞新疆解：y′=［lg(sinx)］′=xesinlg(sinx)′=xesinlgcosx=cotxlge.5.y=lnx1.解：y′=(lnx1)′)1(11xx)1()1(211121xx)1(21)1(21xx6.y=ln12x用心爱心专心121号编辑5解：y′=(ln12x)′)1(1122xx2122)1(2111xx122xxx.7.y=1lnxxx－ln(x+1).解：y′=(1lnxxx)′－［ln(x+1)］′21(ln)(1)ln(1)1(1)1xxxxxxxxx2(ln1)(1)ln1(1)1xxxxxx2lnln1ln1(1)xxxxxxxx2ln(1)xx8.y=aaxxaaxx22222ln22.解：y′=)ln2()2(22222aaxxaaxx12222222222111()2()2222xaaxaxaxxxaaxxa12222222222211[1()2]2222()xaxaxaxxaxxa2222222221(1)222()xaxxaxaxxaxa22222222222222()xaxaxaxxaxxaxa222222222xaaxaxa奎屯王新敞新疆五、小结：⑴要记住并用熟对数函数的两个求导公式；⑵遇到真数中含有乘法、除法、乘方、开方这些运算的，可以先利用对数运算性质将函数解析式作变形处理，然后再求导，以使运算较简便奎屯王新敞新疆六、课后作业：求下列函数的导数：⑴)1(log22xxy；⑵2211lnxxy；用心爱心专心121号编辑6⑶xxy2sinln；⑷)(sinln2xey．解：⑴)'1(1log'222xxxxey)'1(12111log2222xxxxe222111logxxxxe221logxe；⑵)]1ln()1[ln(2122xxy22221)'1(1)'1(21'xxxxy22121221xxxx412xx；⑶)'2sin(2sin'xxxxy22sin2cos22sinxxxxxxxx12cot2；⑷)cot(2)(sin)1)(cos()sin(2)(sin)]'([sin'222xexexexexexey奎屯王新敞新疆七、板书设计（略）奎屯王新敞新疆八、课后记：奎屯王新敞新疆