【创新设计】(全国通用)2016高考数学二轮复习 专题 坐标系与参数方程课件 文(选修4-4)

高考定位坐标系与参数方程是新课标选考内容之一，高考对本讲内容的考查主要是：(1)直线与圆的极坐标方程以及极坐标与直角坐标的互化；(2)直线、圆与圆锥曲线的参数方程以及参数方程与普通方程的互化.真题感悟1.(2015·安徽卷)在极坐标系中，圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R)距离的最大值是________.解析由ρ＝8sinθ得x2＋y2＝8y，即x2＋(y－4)2＝16，由θ＝π3得y＝3x，即3x－y＝0，∴圆心(0，4)到直线y＝3x的距离为2，圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝π3的最大距离为4＋2＝6.答案62.(2015·重庆卷)已知直线l的参数方程为x＝－1＋t，y＝1＋t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝4ρ＞0，3π4＜θ＜5π4，则直线l与曲线C的交点的极坐标为________.解析直线l的直角坐标方程为y＝x＋2，由ρ2cos2θ＝4得ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，直角坐标方程为x2－y2＝4，把y＝x＋2代入双曲线方程解得x＝－2，因此交点为(－2，0)，其极坐标为(2，π).答案(2，π)3.(2015·湖北卷)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ－3cosθ)＝0，曲线C的参数方程为x＝t－1t，y＝t＋1t(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|＝________.解析直线l的极坐标方程ρ(sinθ－3cosθ)＝0化为直角坐标方程为3x－y＝0，曲线C的参数方程x＝t－1t，y＝t＋1t两式经过平方相减，化为普通方程为y2－x2＝4，联立3x－y＝0，y2－x2＝4解得x＝－22，y＝－322或x＝22，y＝322.所以点A－22，－322，B22，322.所以|AB|＝－22－222＋－322－3222＝25.答案254.(2015·广东卷)已知直线l的极坐标方程为2ρsinθ－π4＝2，点A的极坐标为A22，7π4，则点A到直线l的距离为________.解析依题已知直线l：2ρsinθ－π4＝2和点A22，7π4可化为l：x－y＋1＝0和A(2，－2)，所以点A到直线l的距离为d＝|2－（－2）＋1|12＋（－1）2＝522.答案522考点整合1.直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx（x≠0）.2.直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α).几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M(a，0)(a0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；(3)直线过Mb，π2且平行于极轴：ρsinθ＝b.3.圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(2)当圆心位于M(r，0)，半径为r：ρ＝2rcosθ；(3)当圆心位于Mr，π2，半径为r：ρ＝2rsinθ.4.直线的参数方程经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数).设P是直线上的任一点，则t表示有向线段P0P→的数量.5.圆的参数方程圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为x＝x0＋rcosθ，y＝y0＋rsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π).6.圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的参数方程为x＝acosθ，y＝bsinθ(θ为参数).(2)双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的参数方程为x＝acosθ，y＝btanθ(θ为参数).(3)抛物线y2＝2px(p0)的参数方程为x＝2pt2，y＝2pt(t为参数).【例1－1】在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C2，π3，半径R＝5，求圆C的极坐标方程.热点一曲线的极坐标方程[微题型1]极坐标方程与直角坐标方程的互化解将圆心C2，π3化成直角坐标为(1，3)，半径R＝5，故圆C的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.再将C化成极坐标方程，得(ρcosθ－1)2＋(ρsinθ－3)2＝5，化简得ρ2－4ρcosθ－π3－1＝0.此即为所求的圆C的极坐标方程.探究提高(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一.(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围.要注意转化的等价性.[微题型2]曲线的极坐标方程的应用【例1－2】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2cosα，y＝2＋2sinα(α为参数)，M是C1上的动点，P点满足OP→＝2OM→，点P的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.解(1)设P(x，y)，则由条件知Mx2，y2，由于M点在C1上，所以x2＝2cosα，y2＝2＋2sinα，即x＝4cosα，y＝4＋4sinα.从而C2的参数方程为x＝4cosα，y＝4＋4sinα(α为参数).(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.射线θ＝π3与C1的交点A的极径为ρ1＝4sinπ3＝23，射线θ＝π3与C2的交点B的极径为ρ2＝8sinπ3＝43.所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝23.探究提高解决这类问题一般有两种思路，一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标.要注意题目所给的限制条件及隐含条件.【训练1】(2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积.解(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN|＝2.由于C2的半径为1，所以△C2MN为等腰直角三角形，所以△C2MN的面积为12.热点二参数方程[微题型1]参数方程与普通方程的互化【例2－1】(2015·福建卷)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x＝1＋3cost，y＝－2＋3sint(t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为2ρsinθ－π4＝m(m∈R).(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值.解(1)消去参数t，得到圆C的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.由2ρsinθ－π4＝m，得ρsinθ－ρcosθ－m＝0.所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即|1－（－2）＋m|2＝2，解得m＝－3±22.探究提高参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围.[微题型2]直线的参数方程【例2－2】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝3－22t，y＝5＋22t(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝25sinθ.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，5)，求|PA|＋|PB|.解法一(1)由ρ＝25sinθ，得x2＋y2－25y＝0，即x2＋(y－5)2＝5.(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得3－22t2＋22t2＝5，即t2－32t＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝20，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以t1＋t2＝32，t1·t2＝4.又直线l过点P(3，5)，故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝32.法二(1)同法一.(2)因为圆C的圆心为(0，5)，半径r＝5，直线l的普通方程为：y＝－x＋3＋5.由x2＋（y－5）2＝5，y＝－x＋3＋5得x2－3x＋2＝0.解得：x＝1，y＝2＋5或x＝2，y＝1＋5.不妨设A(1，2＋5)，B(2，1＋5)，又点P的坐标为(3，5).故|PA|＋|PB|＝8＋2＝32.探究提高过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)，t的几何意义是P0P→的数量，即|t|表示P0到P的距离，t有正负之分.使用该式时直线上任意两点P1、P2对应的参数分别为t1、t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为12(t1＋t2).【训练2】已知曲线C1的参数方程是x＝2cosφ，y＝3sinφ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为2，π3.(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围.解(1)由已知可得：A2cosπ3，2sinπ3，B2cosπ3＋π2，2sinπ3＋π2，C2cosπ3＋π，2sinπ3＋π，D2cosπ3＋3π2，2sinπ3＋3π2，即A(1，3)，B(－3，1)，C(－1，－3)，D(3，－1).(2)设P(2cosφ，3sinφ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32，52].1.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.2.要熟悉常见曲线的参数方程、极坐标方程，如：圆、椭圆、双曲线、抛物线以及过一点的直线，在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答.3.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.