【创新设计】(全国通用)2016高考数学二轮复习 专题五 第1讲 直线与圆、圆锥曲线的概念与性质课件

第1讲直线与圆、圆锥曲线的概念与性质高考定位直线与圆的位置关系问题是高考命题的重点，多与弦长有关，试题难度中等偏下，多出现在选择或填空题中，圆锥曲线的概念与性质多以客观题的形式来考查，考查椭圆、双曲线、抛物线中的哪一种通常与解答题互为照应.真题感悟1.(2015·安徽卷)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是()A.－2或12B.2或－12C.－2或－12D.2或12解析圆方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴该圆是以(1，1)为圆心，以1为半径的圆，∵直线3x＋4y＝b与该圆相切，∴|3×1＋4×1－b|32＋42＝1.解得b＝2或b＝12，故选D.D2.(2015·陕西卷)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线焦点坐标为()A.(－1，0)B.(1，0)C.(0，－1)D.(0，1)解析由于抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－p2，由题意得－p2＝－1，p＝2，焦点坐标为1，0，故选B.B3.(2015·全国Ⅰ卷)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝()A.3B.6C.9D.12解析因为e＝ca＝12，y2＝8x的焦点为(2，0)，所以c＝2，a＝4，故椭圆方程为x216＋y212＝1，将x＝－2代入椭圆方程，解得y＝±3，所以|AB|＝6.B4.(2015·全国Ⅱ卷)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y＝±12x，则该双曲线的标准方程为________.解析由双曲线渐近线方程为y＝±12x，可设该双曲线的标准方程为x24－y2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为x24－y2＝1.答案x24－y2＝1考点整合1.圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a，b)，半径为r.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心为－D2，－E2，半径为r＝D2＋E2－4F2.2.直线与圆相关问题的两个关键点(1)三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理.(2)两个公式：点到直线的距离公式d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2，弦长公式|AB|＝2r2－d2(弦心距d).3.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|；(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|；(3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离).4.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)(焦点在x轴上)或y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)(焦点在y轴上)；(2)双曲线：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在x轴上)或y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在y轴上)；(3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0).5.圆锥曲线的几何性质(1)椭圆：e＝ca＝1－b2a2.(2)双曲线：①e＝ca＝1＋b2a2；②渐近线方程：y＝±bax或y＝±abx.(3)抛物线：设y2＝2px(p＞0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)为抛物线上的点，F为其焦点.①焦半径|CF|＝x1＋p2；②过焦点的弦长|CD|＝x1＋x2＋p；③x1x2＝p24，y1y2＝－p2.【例1－1】(2015·晋城模拟)若圆C经过(1，0)，(3，0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为()A.(x－2)2＋(y±2)2＝3B.(x－2)2＋(y±3)2＝3C.(x－2)2＋(y±2)2＝4D.(x－2)2＋(y±3)2＝4热点一直线与圆有关问题[微题型1]求圆的方程解析因为圆C经过(1，0)，(3，0)两点，所以圆心在直线x＝2上，又圆与y轴相切，所以半径为2，设圆心坐标为(2，b)，则(2－1)2＋b2＝4，∴b2＝3，b＝±3.答案D探究提高圆的标准方程直接表示出了圆心和半径，而圆的一般方程则表示出了曲线与二元二次方程的关系，在求解圆的方程时，要根据所给条件选取适当的方程形式.[微题型2]圆的切线问题【例1－2】(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________.解析直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r＝（1－2）2＋（0＋1）2＝2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.答案(x－1)2＋y2＝2探究提高(1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式.(2)过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理处理.[微题型3]与圆有关的弦长问题【例1－3】(2015·郑州模拟)若圆上一点A(2，3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为22，则圆的方程是________.解析设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点A(2，3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x＋2y＝0上，即有a＋2b＝0，又(2－a)2＋(3－b)2＝r2，而圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为22，故r2－a－b＋122＝2，依据上述方程，解得a＝6，b＝－3，r2＝52或a＝14，b＝－7，r2＝244.所以，所求圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.答案(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244提究提高涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法：一是利用半径r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，结合勾股定理d2＋l22＝r2求解；二是若斜率为k的直线l与圆C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|.【训练1】(1)(2015·全国Ⅱ卷)已知三点A(1，0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.53B.213C.253D.43(2)(2015·重庆卷)若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________.解析(1)由点B(0，3)，C(2，3)，得线段BC的垂直平分线方程为x＝1，①由点A(1，0)，B(0，3)，得线段AB的垂直平分线方程为y－32＝33x－12，②联立①②，解得△ABC外接圆的圆心坐标为1，233，其到原点的距离为12＋2332＝213.故选B.(2)点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则圆的方程为x2＋y2＝5，设所求直线为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，圆心到直线的距离d＝|－k＋2|k2＋1＝5，解得k＝－12，∴直线为－12x－y＋52＝0，即x＋2y－5＝0.答案(1)B(2)x＋2y－5＝0【例2－1】(1)(2015·全国Ⅰ卷)已知F是双曲线C：x2－y28＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0，66).当△APF周长最小时，该三角形的面积为________.(2)(2015·平顶山模拟)已知点P(a，b)是抛物线x2＝20y上一点，焦点为F，|PF|＝25，则|ab|＝________.热点二圆锥曲线的概念与性质[微题型1]定义与标准方程解析(1)设左焦点为F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2，∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|，△APF周长最小即为|AP|＋|PF1|最小，当A、P、F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为x－3＋y66＝1.与x2－y28＝1联立，解得P点坐标为(－2，26)，此时S＝1AFFS－1FPFS＝126.(2)由题意知抛物线的准线方程为y＝－5，根据抛物线的定义可知|PF|＝b＋5＝25，所以b＝20，又点P(a，b)是抛物线x2＝20y上一点，所以a2＝20×20，a＝±20，所以|ab|＝400.答案(1)126(2)400探究提高(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，双曲线的定义中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.(2)注意数形结合，画出合理草图.[微题型2]简单几何性质与标准方程【例2－2】(1)(2015·天津卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为()A.x29－y213＝1B.x213－y29＝1C.x23－y2＝1D.x2－y23＝1(2)(2015·浙江卷)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点F(c，0)关于直线y＝bcx的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________.解析(1)双曲线x2a2－y2b2＝1的一个焦点为F(2，0)，则a2＋b2＝4，①双曲线的渐近线方程为y＝±bax，由题意得2ba2＋b2＝3，②联立①②解得b＝3，a＝1，所求双曲线的方程为x2－y23＝1，选D.(2)设椭圆的另一个焦点为F1(－c，0)，如图，连接QF1，QF，设QF与直线y＝bcx交于点M.由题意知M为线段QF的中点，且OM⊥FQ.又O为线段F1F的中点，∴F1Q∥OM，∴F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|.在Rt△MOF中，tan∠MOF＝|MF||OM|＝bc，|OF|＝c，可解得|OM|＝c2a，|MF|＝bca，故|QF|＝2|MF|＝2bca，|QF1|＝2|OM|＝2c2a.由椭圆的定义得|QF|＋|QF1|＝2bca＋2c2a＝2a，整理得b＝c，∴a＝b2＋c2＝2c，故e＝ca＝22.答案(1)D(2)22探究提高解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.【训练2】(2015·山东卷)过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________.解析把x＝2a代入x2a2－y2b2＝1得y＝±3b.不妨取P(2a，－3b).又∵双曲线右焦点F2的坐标为(c，0)，∴2FPk＝3bc－2a.由题意，得3bc－2a＝ba.∴(2＋3)a＝c.∴双曲线C的离心率为e＝ca＝2＋3.答案2＋31.确定圆的方程时，常用到圆的几个性质(1)直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三角形(半弦长，弦心距，圆半径)；(2)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(3)圆心在任一弦的中垂线上；(4)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(5)圆的对称性：圆关于圆心成中心对称，关于任意一条过圆心的直线成轴对称.2.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax2＋By2＝1，其中A，B是不等的常数，A＞B＞0时，表示焦点在y轴上的椭圆；B＞A＞0时，表示焦点在x轴上的椭圆；AB＜0时表示双曲线.3.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础.4.在椭圆焦点三角形PF1F2，∠F1PF2＝α，则12PFFS＝c|y0|＝b2·tanα2.5.求双曲线、椭圆的离心率的方法：方法一：直接求出a，c，计算e＝ca；方法二：根据已知条件确定a，b，c的等量关系，然后把b用a，c代换，求ca.6.通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦