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模板6圆锥曲线中的定值问题【例6】(满分12分)(2015·郑州模拟)已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－1，离心率为e＝22.(1)求椭圆E的方程；(2)过点(1，0)作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使MP→·MQ→为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由.[规范解答](1)设椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，由已知得a－c＝2－1，ca＝22，解得a＝2，c＝1.所以b2＝a2－c2＝1.所以椭圆E的方程为x22＋y2＝1.3分(2)假设存在符合条件的点M(m，0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则MP→＝(x1－m，y1)，MQ→＝(x2－m，y2)，MP→·MQ→＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2.5分①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，由x22＋y2＝1，y＝k（x－1），得x2＋2k2(x－1)2－2＝0，即(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，则x1＋x2＝4k22k2＋1，x1x2＝2k2－22k2＋1，7分y1y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝－k22k2＋1，8分所以MP→·MQ→＝2k2－22k2＋1－m·4k22k2＋1＋m2－k22k2＋1＝（2m2－4m＋1）k2＋（m2－2）2k2＋1.9分因为对于任意的k值，MP→·MQ→为定值，所以2m2－4m＋1＝2(m2－2)，得m＝54.所以M54，0，此时，MP→·MQ→＝－716.10分②当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，则x1＋x2＝2，x1x2＝1，y1y2＝－12，由m＝54，得MP→·MQ→＝－716.11分综上，符合条件的点M存在，且坐标为54，0.12分[解题模板]第一步引进参数.从目标对应的关系式出发，引进相关参数.一般地，引进的参数是直线的夹角、直线的斜率或直线的截距等；第二步列出关系式，根据题设条件，表达出对应的动态直线或曲线方程；第三步探求直线过定点.若是动态的直线方程，将动态的直线方程转化成y－y0＝k(x－x0)的形式，则k∈R时直线恒过定点(x0，y0)；若是动态的曲线方程，将动态的曲线方程转化成f(x，y)＋λg(x，y)＝0的形式，则λ∈R时曲线恒过的定点即是f(x，y)＝0与g(x，y)＝0的交点；第四步下结论；第五步回顾反思.在解决圆锥曲线问题中的定点、定值问题时，引进参数的目的是以这个参数为中介，通过证明目标关系式与参数无关，达到解决问题的目的.【训练6】已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1经过点(0，3)，离心率为12，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l交y轴于点M，且MA→＝λAF→，MB→＝μBF→，当直线l的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，请说明理由.解(1)依题意得b＝3，e＝ca＝12，a2＝b2＋c2，∴a＝2，c＝1，∴椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)因直线l与y轴相交于点M，故斜率存在，又F坐标为(1，0)，设直线l方程为y＝k(x－1)，求得l与y轴交于M(0，－k)，设l交椭圆A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝k（x－1），x24＋y23＝1，消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，∴x1＋x2＝8k23＋4k2，x1x2＝4k2－123＋4k2，又由MA→＝λAF→，∴(x1，y1＋k)＝λ(1－x1，－y1)，∴λ＝x11－x1，同理μ＝x21－x2，∴λ＋μ＝x11－x1＋x21－x2＝x1＋x2－2x1x21－（x1＋x2）＋x1x2＝8k23＋4k2－2（4k2－12）3＋4k21－8k23＋4k2＋4k2－123＋4k2＝－83.所以当直线l的倾斜角变化时，直线λ＋μ的值为定值－83.