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第7讲函数的图象考试要求1.点的坐标与函数图象的关系，A级要求；2.图象的平移、对称、伸缩变换及应用，B级要求；3.函数图象的应用——研究函数的性质、解决方程解的个数、不等式的解等，B级要求.知识梳理1.利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线.首先：(1)确定函数的定义域，(2)化简函数解析式，(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等).其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.函数图象间的变换(1)平移变换对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减.y＝f(x)-k(2)对称变换y＝-f(-x)(3)伸缩变换诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同.()(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称.()(3)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.()(4)若函数y＝f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.()(5)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象.()××××√2.(2015·扬州一检)把函数y＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式是________.解析把函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位，即把其中x换成x＋1，于是得y＝[(x＋1)－2]2＋2＝(x－1)2＋2，再向上平移1个单位，即得到y＝(x－1)2＋2＋1＝(x－1)2＋3.答案y＝(x－1)2＋33.已知0a1，给出下列图象：则函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logax的图象在同一坐标系中可以是________(填序号).解析因为0＜a＜1，所以1a＞1，所以函数f(x)＝a－x＝1ax的图象过点(0，1)且单调递增，函数g(x)＝logax的图象过点(1，0)且单调递减.故填④.答案④4.点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是________(填序号).答案③5.(2015·南师附中调研)已知函数f(x)＝log2x（x＞0），2x（x≤0），且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实根，则实数a的取值范围是________.解析当x≤0时，0＜2x≤1，所以由图象可知要使方程f(x)－a＝0有两个实根，即函数y＝f(x)与y＝a的图象有两个交点，所以由图象可知0＜a≤1.答案(0，1]考点一函数图象的作法【例1】分别画出下列函数的图象：(1)y＝|lg(x－1)|；(2)y＝2x＋1－1；(3)y＝x2－|x|－2.解(1)首先作出y＝lgx的图象C1，然后将C1向右平移1个单位，得到y＝lg(x－1)的图象C2，再把C2在x轴下方的图象作关于x轴对称的图象，即为所求图象C3：y＝|lg(x－1)|.如图1所示(实线部分).(2)y＝2x＋1－1的图象可由y＝2x的图象向左平移1个单位，得y＝2x＋1的图象，再向下平移一个单位得到，如图2所示.(3)y＝x2－|x|－2＝x2－x－2（x≥0），x2＋x－2（x＜0），其图象如图3所示.规律方法画函数图象的一般方法：(1)直接法，当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出.(2)图象变换法，若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.(3)描点法，当上面两种方法都失效时，则可采用描点法.为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论.【训练1】分别画出下列函数的图象：(1)y＝|x2－4x＋3|；(2)y＝2x＋1x＋1；(3)y＝10|lgx|.解(1)先画函数y＝x2－4x＋3的图象，再将其x轴下方的图象翻折到x轴上方，如图1.(2)y＝2x＋1x＋1＝2（x＋1）－1x＋1＝2－1x＋1.可由函数y＝－1x向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图2.(3)y＝10|lgx|＝x，x≥1，1x，0＜x＜1，如图3.考点二函数图象的应用[微题型1]求解不可解方程根的个数问题【例2－1】已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lgx|的图象的交点共有________个.解析根据f(x)的性质及f(x)在[－1，1]上的解析式可作图如下：可验证当x＝10时，y＝|lg10|＝1；当x＞10时，|lgx|＞1.因此结合图象及数据特点知y＝f(x)与y＝|lgx|的图象交点共有10个.答案10规律方法当某些方程求解很复杂时，可以考虑利用函数的图象判断解的个数，即将方程解的个数问题转化为两个函数图象的交点问题，对应图象有几个交点，则方程有几个解.[微题型2]求解参数的取值范围问题【例2－2】(2015·福建卷)若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________.解析因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以函数f(x)关于直线x＝1对称，所以a＝1，所以函数f(x)＝2|x－1|的图象如图所示，因为函数f(x)在[m，＋∞)上单调递增，所以m≥1，所以实数m的最小值为1.答案1规律方法对于含有参数的函数求参数范围时，一般是将含参数部分分离出来，转化为一个已知函数和一个含有参数的函数的问题，再借助图象处理.[微题型3]求不等式的解集【例2－3】(2015·北京卷改编)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________.解析借助函数的图象求解该不等式.令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图象如图.由x＋y＝2，y＝log2（x＋1），得x＝1，y＝1.∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1x≤1}.答案{x|－1x≤1}规律方法对于形如f(x)＞g(x)或可化为f(x)＞g(x)的不等式，可以分别作出函数f(x)，g(x)的图象，找到f(x)的图象位于g(x)的图象上方部分所对应的x的取值范围，即为不等式f(x)＞g(x)的解集.【训练2】(1)函数f(x)＝2lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为________.(2)已知函数y＝|x2－1|x－1的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________.解析(1)在同一直角坐标系下画出函数f(x)＝2lnx与函数g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1的图象，如图所示.∵f(2)＝2ln2＞g(2)＝1，∴f(x)与g(x)的图象的交点个数为2.(2)根据绝对值的意义，y＝|x2－1|x－1＝x＋1（x＞1或x＜－1），－x－1（－1≤x＜1）.在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示.根据图象可知，当0＜k＜1或1＜k＜4时有两个交点.答案(1)2(2)(0，1)∪(1，4)[思想方法]1.识图对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系.2.用图要用函数的思想指导解题，即方程的问题函数解(方程的根即相应函数图象与x轴交点的横坐标，或是方程变形后，等式两端相对应的两函数图象交点的横坐标)，不等式的问题函数解(不等式的解集即一个函数图象在另一个函数图象的上方或下方时的相应x的范围).[易错防范]1.函数图象的每次变换都针对自变量“x”而言，如从f(－2x)的图象到f(－2x＋1)的图象是向右平移12个单位，其中是把x变成x－12.2.当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用.3.要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对称的区别.