【创新方案】2013-2014学年高中数学 第一章 集合与函数概念末复习方案与全优评估 新人教A版必

1【创新方案】2013-2014学年高中数学第一章集合与函数概念末复习方案与全优评估新人教A版必修11．集合的“三性”正确理解集合元素的三性，即确定性、互异性和无序性．在集合运算中，常利用元素的互异性检验所得的结论是否正确，因互异性易被忽略，在解决含参数集合问题时应格外注意．2．集合与集合之间的关系集合与集合之间的关系有包含、真包含和相等．判断集合与集合之间的关系的本质是判断元素与集合的关系，包含关系的传递性是推理的重要依据．空集比较特殊，它不包含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集．解题时，已知条件中出现A⊆B时，不要遗漏A＝∅.3．集合与集合之间的运算并、交、补是集合间的基本运算，Venn图与数轴是集合运算的重要工具．注意集合之间的运算与集合之间关系的转化，如A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.4．函数的单调性函数的单调性是在定义域内讨论的，若要证明f(x)在区间[a，b]上是增函数或减函数，必须证明对[a，b]上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)成立；若要证明f(x)在区间[a，b]上不是单调函数，只要举出反例，即只要找到两个特殊的x1，x2，不满足定义即可．单调函数具有下面性质：设函数f(x)定义在区间I上，且x1，x2∈I，则(1)若函数f(x)在区间I上是单调函数，则x1＝x2⇔f(x1)＝f(x2)．(2)若函数f(x)在区间I上是单调函数，则方程f(x)＝0在区间I上至多有一个实数根．(3)若函数f(x)与g(x)在同一区间的单调性相同，则在此区间内，函数f(x)＋g(x)亦与它们的单调性相同．函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法．5．函数的奇偶性判定函数奇偶性，一是用其定义判断，即先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，再检验f(－x)与f(x)的关系；二是用其图象判断，考察函数的图象是否关于原点或y轴对称去判断，但必须注意它是函数这一大前提．2集合间关系的应用[例1]已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－x＋2m＝0}．若A∩B＝B，求m的取值范围．[解](1)由题意得A＝{1,2}．因为A∩B＝B，所以B⊆A.①当B＝∅时，方程x2－x＋2m＝0无实数解，因此其判别式Δ＝1－8m0，即m18；②当B＝{1}或B＝{2}时，方程x2－x＋2m＝0有两个相同的实数解x＝1或x＝2，因此其判别式Δ＝1－8m＝0，解得m＝18，代入方程x2－x＋2m＝0解得x＝12，矛盾，显然m＝18不符合要求；③当B＝{1,2}时，方程x2－x＋2m＝0有两个不相等的实数解x＝1或x＝2，因此1＋2＝1,2m＝2.显然第一个等式不成立．综上所述，m18.[借题发挥]空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决集合之间关系问题时，它往往易被忽视而导致解题失误．1．已知集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{x|y＝x＋1}，则M与N之间的关系()A．MNB．MNC．M＝ND．M与N关系不确定解析：∵M＝{y|y≥1}，N＝{x|x≥－1}，∴MN.答案：A2．已知A＝{x|x2＋2x＋p＝0，x∈R}，B＝{x|x0，x∈R}且A∩B＝∅，求实数p的取值范围．解：∵A∩B＝∅，∴A有两种情况：①A＝∅；②A≠∅.①当A＝∅时，Δ＝4－4p0，∴p1.②当A≠∅时，则方程x2＋2x＋p＝0有实数根且根非正．∴Δ＝4－4p≥0x1＋x2＝－20，x1·x2＝p≥0∴0≤p≤1.3综上所述，p≥0.集合的运算[例2]若集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|－2≤x≤2}，则A∩B＝________.[解析]由B＝{x|－2≤x≤2}，又A＝{x|x≥1}，结合数轴知：所以A∩B＝{x|1≤x≤2}．[答案]{x|1≤x≤2}[借题发挥]此类题目首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心圈”表示．[例3]已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x－1或x5}，若A∩B＝∅，求a的取值范围．[解]由A∩B＝∅，①若A＝∅，有2aa＋3，∴a3.②若A≠∅，如图：∴2a≥－1a＋3≤52a≤a＋3，解得－12≤a≤2.综上所述，a的取值范围是[－12，2]∪(3，＋∞)．[借题发挥](1)依据数形结合的数学思想，利用数轴分析法是解决有关交集、并集问题，特别是一些字母范围问题的常用方法．(2)若A∩B＝∅，则集合A、B可能的情况为：①A、B均为空集；②A与B中只有一个是空集；③A、B虽然非空但无公共元素．3．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x1}，则A∩(∁RB)＝()4A．{x|x1}B．{x|x≥1}C．{x|1x≤2}D．{x|1≤x≤2}解析：∵B＝{x|x1}，∴∁RB＝{x|x≥1}．∴A∩(∁RB)＝{x|1≤x≤2}．答案：D4．已知U＝{0,2，x2－2}，∁UA＝{2，x}，则A＝________.解析：∵(∁UA)⊆U，∴x∈U且x≠2.当x＝0时，U＝{0,2，－2}，∁UA＝{0,2}，A＝{－2}．当x＝x2－2时得x＝－1或x＝2(舍去)x＝－1时，U＝{0,2，－1}，∁UA＝{2，－1}，A＝{0}．答案：{－2}或{0}函数概念问题[例4]已知f(x)＝x＋1，x≥04x，x0，若f(a)＝2，则实数a＝________.[解析]∵当a≥0时，f(a)＝a＋1＝2，∴a＝1.∵当a0时，f(a)＝4a＝2，∴a＝12(舍去)．[答案]1[借题发挥]解决分段函数求值问题的关键是搞清分段标准，然后代入相应的解析式即可．[例5]求下列函数的定义域：(1)f(x)＝x＋1＋12－x；(2)已知y＝f(x)的定义域是[0,4]，求y＝f(x＋1)＋f(2x－1)的定义域．[解](1)使根式x＋1有意义的实数x的集合是{x|x≥－1}，使分式12－x有意义的实数x的集合是{x|x≠2}，所以这个函数的定义域是[－1,2)∪(2，＋∞)．(2)要使y＝f(x＋1)＋f(2x－1)有意义，必须有0≤x＋1≤40≤2x－1≤4⇒－1≤x≤312≤x≤52⇒12≤x≤52.5故所求函数的定义域为[12，52]．[借题发挥]已知解析式求函数的定义域，即求使解析式有意义的自变量的取值范围；而本例(2)为抽象函数的定义域问题，函数y＝f(x＋1)＋f(2x－1)的定义域为y＝f(x＋1)与y＝f(2x－1)的定义域的交集．5．函数y＝21－1－x的定义域为()A．(－∞，1)B．(－∞，0)∪(0,1]C．(－∞，0)∪(0,1)D．[1，＋∞)解析：要使函数有意义，则1－x≥01－1－x≠0，即x≤1且x≠0.答案：B6．设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，求f(99)的值．解：∵f(x)·f(x＋2)＝13.且f(1)＝2.∴f(3)＝13f＝132，f(5)＝13f＝2.f(7)＝13f＝132.f(9)＝13f＝2，…，∴f(2n－1)＝2n为奇数132n为偶数.∴f(99)＝f(2×50－1)＝132.函数图象及应用[例6]设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．[解]f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为x＝1.当t＋11，即t0时，函数图象如图(1)，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；6当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)，最小值为f(1)＝1；当t1时，函数图象如图(3)，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.[借题发挥]本题中区间是变化的，从运动观点来看，让区间从左向右沿x轴正方向移动，看移动到不同位置时对最值有什么影响．借助图形，可使问题的解决显得直观、清晰．7．设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)，(1)证明f(x)是偶函数；(2)画出这个函数的图象；(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上是增函数还是减函数；(4)求函数的值域．解：(1)证明：∵f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，即f(－x)＝f(x)．又∵－3≤x≤3，关于原点对称，∴f(x)是偶函数．(2)当x≥0时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，即f(x)＝x－2－2xx＋2－－3≤x＜.根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图．(3)函数f(x)的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．f(x)在区间[－3，－1)和[0,1)上为减函数，在[－1,0)，[1,3]上为增函数．(4)当x≥0时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2；当x＜0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2.故函数f(x)的值域为[－2,2].7函数的单调性、奇偶性与最值问题[例7]已知函数f(x)＝x＋mx，且此函数图象过点(1,5)．(1)求实数m的值；(2)判断f(x)奇偶性．[解](1)∵f(x)过点(1,5)，∴1＋m＝5⇒m＝4.(2)对于f(x)＝x＋4x，∵x≠0，∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称．∴f(－x)＝－x＋4－x＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．[借题发挥]在判断函数的奇偶性之前，首先要确定函数的定义域，若函数的定义域不关于原点对称，则函数不具有奇偶性，若函数的定义域关于原点对称，则再利用f(x)与f(－x)的关系判断奇偶性．[例8]已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．(1)求实数a的范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数；(2)求f(x)的最小值．[解](1)f(x)＝(x＋a)2＋2－a2，可知f(x)的图象开口向上，对称轴方程为x＝－a，要使f(x)在[－5,5]上单调，则－a≤－5或－a≥5，即a≥5或a≤－5.(2)当－a≤－5，即a≥5时，f(x)在[－5,5]上是增函数，所以f(x)min＝f(－5)＝27－10a.当－5＜－a≤5，即－5≤a＜5时，f(x)min＝f(－a)＝2－a2，当－a＞5，即a＜－5时，f(x)在[－5,5]上是减函数，所以f(x)min＝f(5)＝27＋10a，综上可得，f(x)min＝27－10aa，2－a2－5≤a＜，27＋10aa＜－[借题发挥]解决二次函数的最值问题主要采用图象法或根据单调性求解，若问题中含参数，往往需要分类讨论，该类问题概括起来主要有两类：一是二次函数的解析式确定(不含参数)，而定义域为不定区间；二是定义域确定，而解析式中含参数，无论哪一类应视抛物线8的开口方向，就对称轴与给出的区间的位置进行讨论．8．函数f(x)＝ax＋b1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(12)＝25.(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；(3)解不等式f(t－1)＋f(t)0.解：(1)根据题意得f＝0，f12＝25即a×0＋b1＋02＝0，a2＋b1＋14＝25解得a＝1，b＝0∴f(x)＝x1＋x2.(2)任取－1x1x21，则f(x1)－f(x2)＝x11＋x21－x21＋x22＝x1－x2－x1x2＋x21＋x22.∵－1x1x21，∴x1－x20,1＋x210,1＋x220.又∵－1x1x21，∴1－x1x20.∴f(x1)－f(x2)