【创新方案】2015高考数学(文)一轮热点题型突破：第3章 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切

第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式考点一三角函数的化简求值[例1](1)(2013·重庆高考)4cos50°－tan40°＝()A.2B.2＋32C.3D．22－1(2)化简：1＋sinθ＋cosθsinθ2－cosθ22＋2cosθ(0＜θ＜π)．[自主解答](1)4cos50°－tan40°＝4sin40°－sin40°cos40°＝4cos40°sin40°－sin40°cos40°＝2sin80°－sin40°cos40°＝2sin120°－40°－sin40°cos40°＝3cos40°＋sin40°－sin40°cos40°＝3cos40°cos40°＝3.(2)原式＝2sinθ2cosθ2＋2cos2θ2sinθ2－cosθ24cos2θ2＝cosθ2sin2θ2－cos2θ2cosθ2＝－cosθ2·cosθcosθ2.因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以cosθ2＞0，故原式＝－cosθ.[答案](1)C【方法规律】1．三角函数式化简的原则三角函数式的化简要遵循“三看”原则，即一看角，二看名，三看式子结构与特征．2．解决给角求值问题的基本思路对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：(1)化为特殊角的三角函数值；(2)化为正、负相消的项，消去求值；(3)化分子、分母出现公约数进行约分求值．化简：(1)sin50°(1＋3tan10°)；(2)2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2x＋π4.解：(1)sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°(1＋tan60°tan10°)＝sin50°·cos60°cos10°＋sin60°sin10°cos60°cos10°＝sin50°·cos60°－10°cos60°cos10°＝2sin50°cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.(2)原式＝2cos2xcos2x－1＋122tanπ4－x·cos2π4－x＝－4cos2xsin2x＋14cosπ4－xsinπ4－x＝1－sin22x2sinπ2－2x＝cos22x2cos2x＝12cos2x.考点二三角函数的条件求值[例2](1)(2013·浙江高考)已知α∈R，sinα＋2cosα＝102，则tan2α＝()A.43B.34C．－34D．－43(2)(2013·广东高考)已知函数f(x)＝2cosx－π12，x∈R.①求f－π6的值；②若cosθ＝35，θ∈3π2，2π，求f2θ＋π3.[自主解答](1)法一：(直接法)两边平方，再同时除以cos2α，得3tan2α－8tanα－3＝0，tanα＝3或tanα＝－13，代入tan2α＝2tanα1－tan2α，得tan2α＝－34.法二：(猜想法)由给出的数据及选项的唯一性，记sinα＝310，cosα＝110，这时sinα＋2cosα＝102符合要求，此时tanα＝3，代入二倍角公式得到答案C.(2)①f－π6＝2cos－π6－π12＝2cos－π4＝2cosπ4＝1.②f2θ＋π3＝2cos2θ＋π3－π12＝2cos2θ＋π4＝cos2θ－sin2θ.因为cosθ＝35，θ∈3π2，2π，所以sinθ＝－45.所以sin2θ＝2sinθcosθ＝－2425，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝－725.所以f2θ＋π3＝cos2θ－sin2θ＝－725－－2425＝1725.[答案](1)C【互动探究】保持本例(2)②条件不变，求fθ－π6的值．解：因为θ∈3π2，2π，cosθ＝35，所以sinθ＝－1－cos2θ＝－1－352＝－45.所以fθ－π6＝2cosθ－π6－π12＝2cosθ－π4＝2×22cosθ＋22sinθ＝cosθ＋sinθ＝35－45＝－15.【方法规律】三角函数求值的两种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．1．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角，若tanθ＋π4＝12，则sinθ＋cosθ＝________.解析：法一：由θ在第二象限，且tanθ＋π4＝12，因而sinθ＋π4＝－55，因而sinθ＋cosθ＝2sinθ＋π4＝－105.法二：如果将tanθ＋π4＝12利用两角和的正切公式展开，则tanθ＋11－tanθ＝12，求得tanθ＝－13.又因为θ在第二象限，则sinθ＝110，cosθ＝－310，从而sinθ＋cosθ＝－210＝－105.答案：－1052．已知0＜β＜π2＜α＜π，且cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，求cos(α＋β)的值．解：∵0＜β＜π2＜α＜π，∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π，∴cosα2－β＝1－sin2α2－β＝53，sinα－β2＝1－cos2α－β2＝459，∴cosα＋β2＝cosα－β2－α2－β＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2sinα2－β＝－19×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.高频考点考点三三角变换的综合应用1．三角恒等变换是三角函数化简、求值、证明的主要依据．高考常与三角函数的其他知识相结合命题，题目难度适中，为中档题．2．高考对三角恒等变换综合问题的考查常有以下几个命题角度：(1)与三角函数的图象和性质相结合命题；(2)与向量相结合命题；(3)与解三角形相结合命题(见本章第六节)．[例3](1)(2013·天津高考)已知函数f(x)＝－2sin2x＋π4＋6sinxcosx－2cos2x＋1，x∈R.①求f(x)的最小正周期；②求f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．(2)(2013·辽宁高考)设向量a＝(3sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈0，π2.①若|a|＝|b|，求x的值；②设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．[自主解答](1)①f(x)＝－2sin2x·cosπ4－2cos2x·sinπ4＋3sin2x－cos2x＝2sin2x－2cos2x＝22sin2x－π4.所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.②因为f(x)在区间0，3π8上是增函数，在区间3π8，π2上是减函数，又f(0)＝－2，f3π8＝22，fπ2＝2，故函数f(x)在0，π2上的最大值为22，最小值为－2.(2)①由|a|2＝(3sinx)2＋sin2x＝4sin2x，|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈0，π2，从而sinx＝12，所以x＝π6.②f(x)＝a·b＝3sinxcosx＋sin2x＝32sin2x－12cos2x＋12＝sin2x－π6＋12，当x＝π3∈0，π2时，sin2x－π6取最大值1.所以f(x)的最大值为32.三角恒等变换综合应用问题的常见类型及解题策略(1)与三角函数的图象与性质相结合的综合问题．借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后借助三角函数图象解决．(2)与向量相结合的综合问题．此类问题通常是先利用向量的运算转化为三角函数问题，然后再利用三角恒等变换转化为三角函数的图象与性质等问题解决．1．已知平面向量a＝(sin2x，cos2x)，b＝(sin2x，－cos2x)，R是实数集，f(x)＝a·b＋4cos2x＋23sinxcosx，如果存在m∈R，任意的x∈R，f(x)≥f(m)，那么f(m)＝()A．2＋23B．3C．0D．2－23解析：选C依题意得f(x)＝sin4x－cos4x＋4cos2x＋3sin2x＝sin2x＋3cos2x＋3sin2x＝cos2x＋3sin2x＋2＝2sin2x＋π6＋2，因此函数f(x)的最小值是－2＋2＝0，即有f(m)＝0.2．已知x0，x0＋π2是函数f(x)＝cos2ωx－π6－sin2ωx(ω＞0)的两个相邻的零点．(1)求fπ12的值；(2)若对∀x∈－7π12，0，都有|f(x)－m|≤1，求实数m的取值范围．解：(1)f(x)＝1＋cos2ωx－π32－1－cos2ωx2＝12cos2ωx－π3＋cos2ωx＝1212cos2ωx＋32sin2ωx＋cos2ωx＝1232sin2ωx＋32cos2ωx＝3212sin2ωx＋32cos2ωx＝32sin2ωx＋π3.由题意可知，f(x)的最小正周期T＝π，∴2π|2ω|＝π，又∵ω＞0，∴ω＝1，∴f(x)＝32sin2x＋π3.∴fπ12＝32sin2×π12＋π3＝32sinπ2＝32.(2)|f(x)－m|≤1，即f(x)－1≤m≤f(x)＋1，∵对∀x∈－7π12，0，都有|f(x)－m|≤1，∴m≥f(x)max－1且m≤f(x)min＋1，∵－7π12≤x≤0，∴－5π6≤2x＋π3≤π3，∴－1≤sin2x＋π3≤32，∴－32≤32sin2x＋π3≤34，即f(x)max＝34，f(x)min＝－32，∴－14≤m≤1－32.故实数m的取值范围为－14，1－32.———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1组关系——两角和与差的正弦、余弦、正切公式与倍角公式的关系2个技巧——拼角、凑角的技巧(1)用已知角表示未知角2α＝(α＋β)＋(α－β)；2β＝(α＋β)－(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；α＝α＋β2＋α－β2，β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝α＋β2－α2＋β等．(2)互余与互补关系π4＋α＋π4－α＝π2；π3＋α＋π6－α＝π2；3π4－α＋π4＋α＝π；π6＋α＋5π6－α＝π；…3个变换——应用公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．