第二章--控制系统状态空间表达式的解

第2章控制系统状态空间表达式的解2.1线性定常齐次状态方程的解（自由解）2.2矩阵指数函数——状态转移矩阵2.3线性定常系统非齐次方程的解2.4线性时变系统的解2.5离散时间系统状态方程的解2.6连续时间状态空间表达式的离散化本章要求要求理解及掌握内容：正确理解连续时间状态空间表达式的离散化。线性定常系统状态方程的求解方法要求了解内容：线性离散系统及时变系统状态方程的求解方法。重点：状态转移矩阵和状态方程的求解。本章通过求解系统方程的解来研究系统性能。由于系统的状态方程是矩阵微分方程，而输出方程是矩阵代数方程。因此，只要求出状态方程的解，就很容易地得到系统的输出，进而研究系统的性能。1）、自由运动：线性定常系统在没有控制作用，即u＝0时，由初始状态引起的运动称自由运动。齐次状态方程的解：),(BA0u)0(|)(,0xtxAxxtx2）、强迫运动：线性定常系统在控制u作用下的运动，称为强迫运动。)(|)(,00txtxBuAxxtt非齐次状态方程的解：),(BAux2.1线性定常齐次状态方程的解（自由解）1、线性定常系统的运动2、齐次状态方程：Axx满足初始状态的解是：)0(|)(0xtxt0,)0()(txetxAt满足初始状态的解是：00)(,)()(0tttxetxttA)(|)(00txtxtt2.1线性定常齐次状态方程的解（自由解）线性定常系统齐次状态方程为（1）（2）先考察标量齐次微分方程的幂级数解法axxkktbtbtbtbbx332210假设其解为一幂级数（3）1232132kktkbtbtbb将（3）式代入（2）式)(2210kktbtbtbba)()(ttAxx这时系统的输入为零2.1线性定常齐次状态方程的解（自由解）等式两边t的同次幂的系数相等，因此有0021201!11!2121bakabkbbaabbabbkkk而)0(0xbkkattaktaat!1!211e22因为则解为)0(e)0()!1!211()(22xxtaktaattxatkk（4）模仿标量齐次微分方程的解法，假设线性定常系统齐次状态方程（1）的解为kkttttbbbbbx332210（5）将（5）式代入（1）式2.1线性定常齐次状态方程的解（自由解）1232132kktkttbbbb)(2210kktttAbbbb等式两边t同次幂的系数相等，因此有0021201!11!2121bAAbbbAAbbAbbkkkkk而)0(0xbkkttkttAAAA!1!211e22记作则线性定常系统齐次状态方程（1）的解为)0()!1!211()(22xAAAxkktkttt（6）则)0(e)(xxAtt（7）2.1线性定常齐次状态方程的解（自由解）如果00t则)(e)(0)(0ttttxxA（8）将（8）式代入（1）式验证)()(e)()(0)(0tttdtdtttAxxAxxA)()(e)(00)(000tttttttxxxA和)(0ettA矩阵指数函数又称为状态转移矩阵，记作)(0tt)(tx)(0tx由于系统没有输入向量，是由初始状态激励的。因此，这时的运动称为自由运动。的形态由决定，即是由矩阵A唯一决定的。)(tx)(0ettA2.1线性定常齐次状态方程的解（自由解）一、状态转移矩阵线性定常系统的齐次状态方程：Axx满足初始状态的解是：)0(|)(0xtxt)0()(xetxAt满足初始状态的解是：)()(0)(0txetxttA)(|)(00txtxtt已知：线性定常系统的状态转移矩阵)()(0)(0ttetettAAt令：则有：)()()()0()()(00txtttxxttx2.2矩阵指数函数——状态转移矩阵说明1：状态转移矩阵必须满足以下两个条件：)()(00ttAtt1）状态转移矩阵初始条件：Itt)(002）状态转移矩阵满足状态方程本身：说明2：对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指数函数本身。说明3：状态转移矩阵的物理意义：从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断作坐标变换，不断在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵。)0(x)(1tx)0(1t)(2tx)(12ttt1x2x01t2t2.2矩阵指数函数——状态转移矩阵2.2矩阵指数函数——状态转移矩阵自由运动也即零输入响应的属性：1、几何表征为状态空间中由初始状态点出发和由各个时刻变换点构成的一条轨迹；2、运动属性状态随着时间演化轨迹，属于由偏离系统平衡状态的初始状态引起的自由运动；（典型例子：人造卫星在末级火箭脱落后的运动轨迹属于以脱落时刻运动状态为初始状态的自由运动。）2.2矩阵指数函数——状态转移矩阵3、形态自由运动轨迹的形态，由且仅由系统的矩阵指数函数唯一决定。不同的系统矩阵，导致不同形态的矩阵指数函数，从而导致不同形态的轨迹。这表明，矩阵指数函数即系统矩阵包含了自由运动形态的全部信息。4、趋向平衡状态x=0属性自由运动轨迹最终趋向于系统平衡状态，当且仅当矩阵指数函数最终趋向于0；（渐近稳定）1）AAAAAttteeedtd即AA)()()(ttt2）IA0e即I)0(二、状态转移矩阵的基本性质2.2矩阵指数函数——状态转移矩阵不发生时间推移下的不变性微分性和交换性3）可逆性ttAAee1即)()()(11ttt)()()(020112tttttt4）传递性)()()(020112eeettttttAAA即5）当且仅当时，有BAABttt)(eeeBABA2.2矩阵指数函数——状态转移矩阵又称组合性分解性6）倍时性ktktΦΦ三、几个特殊的矩阵指数函数（1）设，即A为对角阵且具有互异元素时，有1ndiagA1200nttteeteΦ2.2矩阵指数函数——状态转移矩阵（2）若A能通过非奇异变换为对角阵时，即ΛATT-11200nttteetTeΦ-1T2.2矩阵指数函数——状态转移矩阵21221!2!0nttttnttttttteteeenteteetnteeΦ则有（3）设A为约当阵，即()nn1010A2.2矩阵指数函数——状态转移矩阵则有（4）设A为约当阵，即2.2矩阵指数函数——状态转移矩阵cossin()sincosAttttetett四、状态转移矩阵的计算直接求解法：根据定义标准型法求解：对角线标准型和约当标准型拉氏反变换法待定系数法：凯莱－哈密顿定理2.2矩阵指数函数——状态转移矩阵求出的解不是解析形式，适合于计算机求解。kkAkkkAAAttttAtIekk!0!2!221、根据状态转移矩阵的定义求解：对所有有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的。2.2矩阵指数函数——状态转移矩阵2、标准型法求解：思路：根据状态转移矩阵性质：对A进行非奇异线性变换，得到：TT1AA联立上两式，得到：1TTtAAtee有二种标准形式：对角线矩阵、约当矩阵A1TTTT1tAAtee2.2矩阵指数函数——状态转移矩阵11T00TTT1tttAAtneeee其中：T为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。（1）当A的特征值为两两相异时：对角线标准型n,,,21求状态转移矩阵的步骤：1）先求得A阵的特征值。2）求对应于的特征向量，并得到T阵及T的逆阵。3）代入上式即可得到状态转移矩阵的值。iiipTp0p)(0)det(iiiiAIAIA即：2.2矩阵指数函数——状态转移矩阵（2）当A具有n重特征根：约当标准型i其中：T为使A化为约当标准型的非奇异变换矩阵。111T000)!1(1TTTtttntttAAtiiiiieteetnteeee的矩阵指数函数约当矩阵A求矩阵指数函数的步骤：此时的步骤和对角线标准型情况相同：求特征值、特征向量和变换阵T。说明的是：对于所有重特征值，构造约当块，并和非重特征值一起构成约当矩阵,根据状态转移矩阵的性质，求得。itAe2.2矩阵指数函数——状态转移矩阵3、待定系数法：将化为A的有限项多项式来求解：Ate0||)(0111aaaAIfnnn0)(0111IaAaAaAAfnnn设n×n维矩阵A的特征方程为：（1）凯莱－哈密顿（以下简称C-H）定理：则矩阵A满足其自身的特征方程，即：2.2矩阵指数函数——状态转移矩阵10nnjjmjAA由定理可知：A所有高于(n-1)次的幂都可以由A的0～(n-1)次幂线性表出。并令即可得到如下的结论：0!)(mmjmjmtt即：将此式代入的定义中：Ate0100010!!!mmjmnjjmmjnjmjmmmAtmtAAmtAmte其中：为t的标量函数，可按A的特征值确定。111010)()()()(nnnjjjAtAtaAtaItaAtae)(,),(),(110tatatan2.2矩阵指数函数——状态转移矩阵（2）将化为A的有限项多项式来求解Ate根据C-H定理，可将化为A的有限项表达式，即封闭形式：其中：为t的标量函数，可按A的特征值确定。111010)()()()(nnnjjjAtAtaAtaItaAtae)(,),(),(110tatatanAte2.2矩阵指数函数——状态转移矩阵1）A的特征值两两相异时，n,,,21tttnnnnnnneeetatata2111211222111211110111)()()(注意求逆推导：利用了A可化为对角阵的矩阵指数函数求法。PAtaAtaItaPPePennAttA))()()((111011iiiiAAPPAPPAPPPAAAPPAP个个)())((11111注意：tniniietatata1110)()()(推导时可以看到：2.2矩阵指数函数——状态转移矩阵tttnntnnnnnnnnnneteetetntatatata1111!112)!2(11)!1(111121121!11131!2)2)(1(11210121000)1(1001000)()()()(注意求逆2）A的特征值为(n重根）1)3()()()(1111110tnnetatata推导：此时只有一个方程：缺少n-1个独立方程，故需要对上式求导n-1次，得到其余n-1个方程.说明：不管特征值互异、还是具有重根，只需要记住式(3)。对于特征值互异，对于每个特征值，直接得到方程；对于特征值m重根，则求m-1次导数，补充缺少的m-1个方程，联立方程可以求