2010-2011学年第二学期概率论期中考试试卷答案

2010-2011学年第二学期概率论期中考试试卷答案Page1of7第1页共7页北京交通大学2010~2011学年第二学期概率论期中考试试卷答案一．（本题满分10分）在正方形1,1,qpqpD：中任取一点qp,，求使得方程02qpxx有两个实根的概率．解：设A“方程02qpxx有两个实根”，所求概率为AP．设所取的两个数分别为p与q，则有11p，11q．因此该试验的样本空间与二维平面点集11,11,qpqpD：中的点一一对应．随机事件A与二维平面点集04,2qpqpDA：即与点集qpqpDA4,2：中的点一一对应．所以，241312412214113112ppdppDDAPA的面积的面积．二．（本题满分10分）已知甲袋中有9只白球和1只黑球，乙袋中有10只白球．每次从甲乙两袋中各取一球交换放入另一个袋中．这样做了3次，求第3次后黑球出现在甲袋中的概率．解：2010-2011学年第二学期概率论期中考试试卷答案Page2of7第2页共7页设iA“i次交换后黑球在甲袋中”，3,2,1i．由全概率公式，得9.01AP，1211212AAPAPAAPAPAP82.01.01.09.09.0，2322323AAPAPAAPAPAP756.0.01.018.09.082.0．三．（本题满分10分）m位听众随机走进mnn个会场，求每个会场至少有一位听众的概率．解：设每个会场至少有一听众B，所求概率为BP．个会场没有听众第iAi，ni,,2,1．则niiAB1niiAPBPBP111nniiiiiinnkjikjinjijinkkAAAPAAAPAAAPAAPAPnn211111111121121011321111321mmnnnmmnmmnmmnnCnnCnnCnnC．四．（本题满分10分）高炮射击空中目标，假设炮弹在目标周围纵、横、竖三个方向的偏离都不超过10米时爆炸才有效．设在纵、横、竖三个方向超过10米的概率分别为12.01p，08.02p，10.03p，求炮弹发射后无效的概率．解：设A“炮弹爆炸时有效”，所求概率为AP．再设1B“炮弹在目标周围纵方向偏离超过10米”2010-2011学年第二学期概率论期中考试试卷答案Page3of7第3页共7页2B“炮弹在目标周围横方向偏离超过10米”3B“炮弹在目标周围竖方向偏离超过10米”则有321BBBA，因此有3213211BBBPBBBPAP3211BPBPBP3211111BPBPBP27136.010.0108.0112.011．五．（本题满分10分）设是一个样本空间，F是上的一个事件域，AP，FA是F上的一个满足1P的非负集函数，而且满足：⑴如果FiA，ni,,2,1，其中n是任一正整数，而且nAAA,,,21两两互不相容，则有niiniiAPAP11；⑵如果FnA，,3,2,1n，而且满足121nnAAAA，则有nnnnAPAPlim1．证明：集函数AP，FA满足可列可加性．解：设FnA，,3,2,1n满足,,,321AAA两两互不相容，令niinAB1，,3,2,1n．则FnB，,3,2,1n，而且121nnBBBB，而且11nnnnAB，所以，有2010-2011学年第二学期概率论期中考试试卷答案Page4of7第4页共7页11111limlimlimiiniinniinnnnnnnAPAPAPBPBPAP．这表明，集函数AP，FA满足可列可加性．六．（本题满分10分）有3个盒子，第一个盒子中装有1个白球，4个黑球；第二个盒子中装有2个白球，3个黑球；第三个盒子中装有3个白球，2个黑球．先任取一个盒子，再从中任取3个球．令X表示所取到白球数．⑴试求X的分布列；⑵求取到的白球数不少于2个的概率．解：⑴X的取值为3,2,1,0设iA“任取一个盒子为i号盒”，3,2,1i．3322110000AXPAPAXPAPAXPAPXP61031313135333534CCCC，3322111111AXPAPAXPAPAXPAPXP21313131352213352312352411CCCCCCCCC，3322112222AXPAPAXPAPAXPAPXP1033131031351223351322CCCCCC，3322113333AXPAPAXPAPAXPAPXP301310310313533CC．因此，随机变量X的分布列为X0123P6121103301⑵31301103322XPXPXP．七．（本题满分10分）2010-2011学年第二学期概率论期中考试试卷答案Page5of7第5页共7页某学生参加一项考试，他可以决定聘请5名或者7名考官．各位考官独立地对他的成绩做出判断，并且每位考官判断他通过考试的概率均为3.0，如果至少有3位考官判断他通过，他便通过该考试．试问该考生聘请5名还是7名考官，能使得他通过考试的概率较大？解：设试一位考官判断他通过考A，则3.0AP．该考生通过考试B．由于各位考官独立地对他的成绩做出判断，因此考生聘请n位考官，相当于做一个n重Bernoulli试验．令X表示判断他通过考试的考试人数，则3.0,~nBX，因此knkknCkXP7.03.0，nk,,1,0．⑴若考生聘请5位考官，相当于做一个5重Bernoulli试验．所以，5433XPXPXPXPBP16308.07.03.07.03.07.03.0055514452335CCC．⑵若考生聘请7位考官，相当于做一个7重Bernoulli试验．所以，201313kkXPXPXPBP3529305.07.03.07.03.07.03.01522761177007CCC．所以聘请7位考官，可以使该考生通过考试的概率较大．八．（本题满分10分）设连续型随机变量X的分布函数为xBAxFarctan，x．试求：⑴.系数A与B；⑵.概率11XP；⑶.随机变量X的密度函数．解：⑴.由1limxFx，0limxFx，得BAxBAxFxx2arctanlimlim1BAxBAxFxx2arctanlimlim02010-2011学年第二学期概率论期中考试试卷答案Page6of7第6页共7页解方程组0212BABA，得21A，1B所以，xxFarctan121x⑵.11XP11FF1arctan1211arctan1214121412121⑶.X的密度函数为2111xxFxfx．九．（本题满分10分）甲、乙两人进行比赛，规定若某人先赢得4局比赛的胜利便赢得整场比赛的胜利．设在每局比赛中，甲、乙两人获胜的概率都是21，令X表示所需比赛的局数，求：⑴X的分布列；⑵XE．解：⑴X的可能取值为4，5，6，7．812121444XP，41212121215434434CCXP，165212121216535535CCXP，165212121217636636CCXP．因此，随机变量X的分布列为2010-2011学年第二学期概率论期中考试试卷答案Page7of7第7页共7页X4567P8141165165⑵8125.3166116571656415814XE十．（本题满分10分）设是一个样本空间，F是上的一个事件域，AP，FA是F上的一个概率函数．证明：如果FA，以及FnA，,3,2,1n，满足1nnAA，则有1nnAPAP．解：如果级数1nnAP，则不等式显然成立，以下设1nnAP．设FA，以及FnA，,3,2,1n，满足1nnAA，则由概率的单调性，得1nnAPAP．以下只需证明：11nnnnAPAP即可．令11AB，11niinnAAB，,4,3,2n．则有⑴11nnnnBA；⑵,,,321BBB两两互不相容；⑶nnAB，,3,2,1n．因此，有111111limlimnnniinniinnnnnnnAPAPBPBPBPAP．