2011届高考数学(一轮)复习精品学案课件：第2章 函数与导数―二次函数

学案4二次函数返回目录1.二次函数函数叫做二次函数,它的定义域是.2.y=ax2(a≠0)的性质和图象特征(1)定义域是.(2)顶点坐标为.(3)偶函数,图象关于y轴对称,其对称轴为.Ry=ax2+bx+c(a≠0)x=0R(0,0)返回目录3.二次函数的三种表示形式一般式:.顶点式:,其中为抛物线的顶点坐标.两根式:,其中是抛物线与x轴交点的横坐标.4.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系y=ax2+bx+c(a≠0)y=a(x-h)2+k(a≠0)(h,k)y=a(x-x1)(x-x2)x1,x2y=ax2+bx+c(a0)的图象方程ax2+bx+c=0的解无解ax2+bx+c0的解集ax2+bx+c〈0的解集acb42000x=x1x=x2x1=x2=x0{x|xx1或xx2}{x|x≠x0}R返回目录{x|x1xx2}返回目录考点一求二次函数的解析式已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足条件f(2-x)=f(2+x),其图象的顶点为A,图象与x轴的交点为B,C,其中B点的坐标为(-1,0)且△ABC的面积为18,试确定这个二次函数的解析式.【分析】确定二次函数的解析式,一般方法是待定系数法,但由于二次函数的解析式有三种形式:f(x)=ax2+bx+c,g(x)=a(x-m)2+n,h(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),针对不同问题,应适当选形式.【解析】解法一:由f(2-x)=f(2+x),二次函数f(x)图象的对称轴方程为x=2,故①点B(-1,0)在f(x)的图象上,故a(-1)2+b(-1)+c=0,即a-b+c=0②又△ABC的面积为18，故［2-(-1)］=,即=±6③22ab-214ab-4ac22184ab-4ac2返回目录由①得b=-4a,分别代入②③中,得a+4a+c=0,即5a+c=0.=±6,即c-4a=±6.a=a=-b=-b=c=-c=.∴f(x)=x2-x-或f(x)=-x2+x+.4a16a-4ac2或由此解得3238310323831032383103238310返回目录解法二:由f(2-x)=f(2+x)知,二次函数f(x)图象的对称轴方程为x=2,又B(-1,0),故C点坐标为(5,0).设顶点A的纵坐标为y,则由△ABC面积为18，有(5+1)|y|=18，故可解得y=±6,A点坐标为(2,±6).∴可设f(x)=a(x-2)2+6或f(x)=a(x-2)2-6.B(-1,0)是f(x)图象上一点,故a(-1-2)2+6=0或a(-1-2)2-6=0.∴解得a=-或a=.∴f(x)=-(x-2)2+6或f(x)=(x-2)2-6.2132323232返回目录【评析】(1)二次函数解析式的三种形式:①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);②顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0);③两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).(2)求二次函数解析式的方法:待定系数法.根据所给条件的特征,可选择一般式、顶点式或两根式中的一种来求.①已知三个点坐标时,宜用一般式;②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式;③若已知抛物线与x轴有两个交点,且横坐标已知时,选用两根式求f(x)更方便.返回目录＊对应演练＊已知二次函数f(x)同时满足条件：(1)f(1+x)=f(1-x);(2)f(x)的最大值为15；(3)f(x)=0的两根的立方和等于17，求f(x)的解析式.返回目录(1)∵f(1+x)=f(1-x),∴函数f(x)关于直线x=1对称,又f(x)的最大值为15,故可设f(x)=a(x-1)2+15(a0).∴f(x)=ax2-2ax+a+15,∴x1+x2=2,x1x2=1+,∴=(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2)=23-3×2(1+)=2-=17.∴a=-6.故所求函数的解析式为f(x)=-6x2+12x+9.a153231xxa15a90返回目录考点二二次函数性质的应用设二次函数f(x)=x2+ax+a,方程f(x)-x=0的两根x1和x2满足0x1x21.(1)求实数a的取值范围;(2)试比较f(0)·f(1)-f(0)与的大小,并说明理由.【分析】可利用二次函数中根与系数的关系列出不等关系,从而确定参数a的取值范围.161返回目录【解析】(1)令g(x)=f(x)-x=x2+(a-1)x+a,Δ001g(1)0g(0)0,a3+2或a3-2-1a1a0,∴0a3-2.故所求实数a的取值范围是(0,3-2).即则由题意得21a2222返回目录(2)由题意知f(0)f(1)-f(0)=2a2.令h(a)=2a2,则当0a3-2时,h(a)是增函数.∴h(a)h(3-2)=2(3-2)2=2(17-12)=2×.即f(0)·f(1)-f(0).【评析】本题利用二次函数的性质研究了二次方程根的分布问题,继而求出了待定字母a的取值范围.2222212171161161返回目录＊对应演练＊（1）若函数y=x2+(a+2)x+3,x∈［a,b］的图象关于直线x=1对称，则b=.（2）函数f(x)=2x2+mx-1在区间［-1,+∞)上递增，则f(-1)的取值范围是.（3）已知f(x)=x2+ax+3-a，若当x∈［-2,2］时f(x)≥0恒成立，则a的范围是.（1）解法一：∵二次函数y=x2+(a+2)x+3的对称轴为x=1,∴.即a=-4，而函数f(x)是定义在［a,b］上的，即a,b关于x=1对称.∴.∴b=6.6(-∞,-3］-7≤a≤2122a12ba返回目录解法二：∵二次函数的对称轴为x=1,∴f(x)=(x-1)2+c与原函数表达式对比可得a+2=-2,∴a=-4,又,∴b=6.（2）∵抛物线开口向上，对称轴为x=,∴≤-1,∴m≥4.又f(-1)=1-m≤-3,∴f(-1)∈(-∞,-3］.12ba4m4m返回目录（3）f(x)=x2+ax+3-a=（x+）2-+3-a.①当--2,即a4时，f(x)min=f(-2)=7-3a≥0,∴a≤,又a4,故此时a不存在.②当-2≤-≤2，即-4≤a≤4时，f(x)min=f（）=3-a-≥0,∴a2+4a-12≤0.∴-6≤a≤2.又-4≤a≤4,∴-4≤a≤2.③当-2，即a-4时，f(x)min=f(2)=7+a≥0,∴a≥-7.又a-4，故-7≤a-4.综上得-7≤a≤2.)2a42a2a372a2a42a2a返回目录考点三二次函数在给定区间上的最值问题已知函数f(x)=2x2-2ax+3在区间［-1,1］上有最小值,记作g(a).(1)求g(a)的函数表达式;(2)求g(a)的最大值.【分析】抛物线对称轴不确定,需讨论对称轴与区间的关系才能求出区间最值.【解析】(1)由f(x)=2x2-2ax+3=2（x-）2+3-知对称轴方程为x=,根据二次函数的对称轴与题设区间的相对位置分类讨论.2a22a2a返回目录①当≤-1,即a≤-2时,g(a)=f(-1)=2a+5;②当-11,即-2a2时,g(a)=f()=3-;③当≥1,即a≥2时,g(a)=f(1)=5-2a.综合①②③,得2a+5(a≤-2)3-(-2a2)5-2a(a≥2).(2)当a≤-2时,g(a)≤1;当-2a2时,g(a)≤3;当a≥2时,g(a)≤1.∴当a=0时,g(a)的最大值为3.2a22a2a2a2ag(a)=22a返回目录【评析】(1)解二次函数求最值问题,首先采用配方法,将二次函数化为y=a(x-m)2+n的形式,得顶点(m,n)或对称轴方程x=m,可分成三个类型:①顶点固定,区间固定;②顶点含参数,区间固定;③顶点固定,区间变动.(2)二次函数的最值问题能够将有关二次函数的全部知识和性质融合在一起，还经常和实际问题以及其他考点的知识相结合考查考生的函数思想水平和数学抽象能力，所以历来为高考命题专家所青睐.解决最值问题的关键是与图象结合，就是用数形结合的方法和运动变化的观点进行分析，然后用抽象的数学表达式反映考题的本质.当然这离不开有关函数最值的基本知识，如最值公式、均值定理、配方法等.返回目录＊对应演练＊关于x的二次函数f(x)=x2-4x+1(0≤x≤1)的最大值为M，最小值为m，求M-m.f(x)=x2-4x+1=(x-2a)2+1-4a(0≤x≤1)，顶点为(2a,1-4a),f(0)=1,f(1)=-3.（1）当2a＜0,即a＜0时,M-m=f(0)-f(1)=4-.（2）当0＜2a≤,即0＜a≤时，M-m=f(1)-(1-4a)=4a+-4.a1a1a1a1a12141a1返回目录(3)当＜2a≤1,即＜a≤时，M-m=f(0)-(1-4a)=4a.(4)当2a＞1，即a＞时，M-m=f(0)-f(1)=4-.4-，a＜0,4a+-4,0＜a≤,4a,＜a≤,4-，a＞.a121412121综上，M-m=a1a1a121414121返回目录考点四二次函数的综合应用已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)-2x的解集为{x|1＜x＜3}.（1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的实根，求f(x)的解析式；（2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围.【分析】利用不等式的解集与方程根的关系进行求解.【解析】（1）∵f(x)+2x0的解集为{x|1＜x＜3},∴可设f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，且a0.因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.①返回目录由方程f(x)+6a=0得ax2-(2+4a)x+9a=0.②∵方程②有两个相等的根，∴Δ=［-(2+4a)］2-4a·9a=0,即5a2-4a-1=0.解得a=1或a=-.由于a0，舍去a=1.将a=-代入①得f(x)的解析式为f(x)=-x2-x-.5151515653返回目录【评析】解一元二次不等式ax2+bx+c0或ax2+bx+c0，反映在数量关系上就是考查二次方程ax2+bx+c=0的根，反映在图形上就是考查二次y=ax2+bx+c的图象与x轴的关系.(2)f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=由a0，可得f(x)的最大值为.0a0,解得a-2-或-2+a0.故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是（-∞,-2-)∪(-2+,0).由aaaaaxa142122aaa1423333aaa142返回目录＊对应演练＊已知函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab,当x∈(-3,2)时，f(x)0；当x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时，f(x)0.（1）求f(x)在［0,1］上的值域；（2）c为何值时，ax2+bx+c≤0的解集为R？由题目知f(x)的图象是开口向下，交x轴于点A(-3,0)和B（2,0）的抛物线，对称轴方程为x=-.那么，当x=-3和x=2时，有y=0.代入原式得0=a(-3)2+(b-8)×(-3)-a-ab,0=a×22+(b-8)×2-a-ab.21返回目录a=0a=-3,b=8b=5.a=0,b=8,∴f(x)=-3x2-3x+18.（1）由题意知，函数在［0,1］上为单调递减.又当x=0时，y=18,当x=1时，y=12.∴f(x)在［0,1］上的值域为［12,18］.（2）令g(x)=-3x2+5x+c,要使g(x)≤0的解集为R，则需要方程-3x2+5x+c=0的根的判别式Δ≤0,即Δ=25+12c≤0.解得c≤-，∴当c≤-时，ax2+bx+c≤0的解集为R.解得经检验知不符合题意，舍去.或12251225返回目录考点五用二次函数解决实际问题据调查,某地区100万从事传统农业的农民,人均收入3000元,为了增加农民的收入,当地政府积极引进资本,建立各种加工企业,对