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学案1空间几何体的结构、三视图和直观图返回目录一、多面体与旋转体一般地,把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的叫做多面体的面；相邻两个面的叫做多面体的棱；棱与棱的叫做多面体的顶点.把由一个平面图形绕它所在平面内的旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体.这条定直线叫做旋转体的轴.各个多边形公共边公共点一条定直线二、棱柱的结构特征一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.棱柱中，的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；的公共顶点叫做棱柱的顶点.根据底面多边形的边数分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱等.返回目录两个互相平行侧面与底面返回目录三、棱锥的结构特征一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.按照底面多边形的边数分为：三棱锥、四棱锥、…、n棱锥.其中三棱锥也叫四面体.四、棱台的结构特征去截棱锥，底面与截面之间的部分，叫做棱台.原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，棱台也有侧面、侧棱、顶点，上、下底面的距离叫棱台的高.公共顶点用一个平行于棱锥底面的平面五、圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.六、圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.旋转轴叫做圆锥的轴；旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥侧面的母线.返回目录平行于轴的边垂直于轴的直角边七、圆台的结构特征用去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、底面、侧面、母线.棱台与圆台统称为台体.八、球的结构特征以所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球的球心,半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径.九、中心投影和平行投影1.中心投影：形成的投影.2.平行投影：形成的投影.返回目录平行于圆锥底面的平面半圆的直径光由一点向外散射在一束平行光线照射下十、三视图一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在，长度和正(主)视图一样，侧(左)视图放在，高度和主视图一样，宽度与俯视图一样.十一、斜二测画法的步骤1.在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴、z轴，相交于O点，画直观图时，画成相应的x′轴、y′轴、z′轴，相交于O′点，使∠x′O′y′=，∠z′O′x′=.2.已知图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段，在直观图中分别画成平行于的线段.3.已知图形中平行于x轴、z轴的线段，在直观图中，平行于y轴的线段，长度为.返回目录原来的一半正（主）视图的下面正视图的右面45°(135°)90°x′轴、y′轴、z′轴保持原长度不变返回目录判断图中所示物体是不是台体，为什么?【分析】用台体的定义判断.考点一几何体的结构特征返回目录返回目录【解析】以上三图都不是台体，（1）中延长AA1,DD1，它们交于一点，而延长BB1,CC1，它们交于另一点，此图不能还原成锥体，故不是台体；（2）中面ABCD与面A1B1C1D1不平行，故也不是台体；（3）中⊙O与⊙O1也不平行，故（3）也不是台体.【评析】判断是否是台体要看两点：一是看底面是否平行，二是看是否可以还原成锥体.＊对应演练＊如图，长方体ABCD—A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，说明理由.返回目录返回目录（1）是棱柱，并且是四棱柱.因为以长方体相对的两个面作底面都是四边形，其余各面都是矩形，当然是平行四边形，并且四条侧棱互相平行.（2）截面BCFE右上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1—CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面.截面BCFE左下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1—DCFD1，其中四边形ABEA1和DCFD1是底面.返回目录【分析】根据柱、锥、台的概念作出判断.考点二关于柱、锥、台的概念下列说法正确的是（）A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B、有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C、有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D、棱台是平行于底面截棱锥所得到的平面与底面之间的部分返回目录【解析】A，B中，不满足“每相邻两个侧面的公共边互相平行”，所以不是棱柱；C中，不满足各个三角形有唯一的公共顶点.故应选D.【评析】紧扣概念是判断此类命题的关键.返回目录＊对应演练＊下列结论正确的是（）A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B、以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C、棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D、圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的边线都是母线.D（A错误.如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不一定是棱锥.B错误.如图，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥.C显然错误.故应选D.）返回目录返回目录圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°,一个底面的半径是另一个底面半径的2倍.求两底面的半径和两底面面积之和.考点三基本元素的计算【分析】利用圆台的横截面不难求解.【解析】如图，设圆台上底面半径为r，则下底面半径为2r，且∠ASO=30°,在Rt△SA′O′中，=sin30°,∴SA′=2r,在Rt△SAO中，=sin30°,∴SA=4r.∴SA-SA′=AA′,即4r-2r=2a，r=a.∴S=S1+S2=πr2+π(2r)2=5πa2.∴圆台上底面半径为a，下底面半径为2a，两底面面积之和为5πa2.返回目录ASR′SAr2【评析】解决该类问题的关键是正确作出几何体的轴截面，把空间几何体问题转化为平面问题，利用平面几何的知识加以解决，这也是解决立体几何问题的基本策略.返回目录返回目录＊对应演练＊求棱长为a的正四面体外接球与内切球的半径.设正四面体A—BCD的高为AO1，外接球球心为O，半径为R.（如图所示）∵正四面体的棱长为a，∴O1B=a×=.在Rt△AO1B中，AO1=2332a33a36a)33(-aBO-AB22212==返回目录设内切球半径为r，球心为O，正四面体的高为AO1=a，作AE⊥CD于E点，连接O1E.如图所示，根据三垂线定理的逆定理，得O1E⊥CD.显然，EO为∠AEO1的平分线.∴,即.∴r=.即内接球半径为.AEEOAOOO11=31r-a36r=a126a12636在Rt△OO1B中,∴AO1==R+.∴R=，即外接球半径为.,3a-R=a)33(-R=OO222221a363a-R22a46a46返回目录已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原三角形ABC的面积.【分析】按照直观图的画法，建立适当的坐标系将△A′B′C′还原，并利用平面几何的知识求出相应的线段、角，求解时要注意线段和角的变化规律.考点四直观图返回目录【解析】建立如图所示的xOy坐标系，△ABC的顶点C在y轴上，AB边在x轴上，OC为△ABC的高.把y轴绕原点顺时针旋转45°得y′轴，则点C变为点C′，且OC=2OC′，A,B点即为A′,B′点，AB=A′B′.已知A′B′=A′C′=a，在△OA′C′中，由正弦定理得所以OC′=，所以原三角形ABC的高OC=，所以S△ABC=×a×=.sin45CA=CAOCO′′′′′∠aa26sin45sin120=a621a6226a返回目录【评析】解决这类题的关键是根据斜二测画法求出原三角形的底边和高，将水平放置的平面图形的直观图还原成原来的实际图形，其作法就是逆用斜二测画法，也就是使平行于x轴的线段的长度不变，而平行于y轴的线段的长度变为直观图中平行于y′轴的线段长度的2倍.＊对应演练＊已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A.a2B.a2C.a2D.a2438386166返回目录D(如图①,②所示的实际图形和直观图.由②可知,A′B′=AB=a,O′C′=OC=a,在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′=a.∴S△A′B′C′=A′B′·C′D′=×a×a=a2.故应选D.)返回目录21432286218616621返回目录一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积.【分析】由几何体的三视图，画出原几何体的直观图，然后求解即可.考点五三视图【解析】由三视图易知，该正三棱柱的形状如图所示.且AA′=BB′=CC′=4cm,正三角形ABC和正三角形A′B′C′的高为2cm.∴正三角形ABC的边长为|AB|==4.∴该三棱柱的表面积为S=3×4×4+2××42×sin60°=48+8(cm2).体积为V=S底·|AA′|=×42sin60°×4=16(cm3).故这个三棱柱的表面积为（48+8）cm2,体积为16cm3.返回目录3sin603221321333【评析】通过三视图间接给出几何体的形状，打破以往直接给出几何体并给出相关数据进行相关运算的传统模式，使三视图与传统意义上的几何有机结合，这也体现了新课标的思想.返回目录如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为()A.1B.C.D.＊对应演练＊返回目录213161D(由题意知原几何体是一个三棱锥P—ABC,且AB,AC,AP两两垂直,长度都为1.∴VP—ABC=××1×1×1=.故应选D.)312161返回目录返回目录1.正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底面正多边形、内切圆半径、外接圆半径、底面边长的一半构成的直角三角形中解决.2.圆柱、圆锥、圆台、球应抓住它们是旋转体这一特点，弄清旋转轴、旋转面、轴截面.3.台体可以看成是由锥体截得的,但一定强调截面与底面平行.4.在绘制三视图时，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线.在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被挡住的轮廓画成虚线,并做到“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”.5.在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半”.返回目录