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学案3圆的方程返回目录1.圆的标准方程设圆心为C(a,b)，半径为r，则圆的标准方程为，当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为.(x-a)2+(y-b)2=r2x2+y2=r22.圆的一般方程（1）当时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，它表示圆心为，半径为的圆.（2）当D2+E2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点;（3）当D2+E2-4F0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.返回目录D2+E2-4F＞024F-ED22+不表示任何图形()2E,-2D-()2E,-2D-返回目录3.点P（x0,y0）与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系(1)当(x0-a)2+(y0-b)2r2时，点P在圆外;(2)当(x0-a)2+(y0-b)2r2时,点P在圆上;(3)当(x0-a)2+(y0-b)2r2时，点P在圆内.＜＞=返回目录求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为2的圆的方程.【分析】先由条件确定选用圆的标准方程还是一般方程，再由待定系数法确定常数大小.考点一求圆的方程7返回目录【解析】设所求的圆的方程是（x-a）2+（y-b）2=r2，则圆心（a，b）到直线y-x=0的距离为，∴r2=+（）2，即2r2=（a-b）2+14.①由于所求的圆与x轴相切，∴r2=b2.②又∵所求圆心在直线3x-y=0上，∴3a-b=0，③联立①②③，解得a=1，b=3，r2=9或a=-1，b=-3，r2=9.故所求的圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9.2|b-a|2)2|b-a|(7返回目录【评析】求圆的方程时，据条件选择合适的方程形式是关键.（1）当条件中给出的是圆上几点坐标，较适合用一般式，通过解三元一次方程组来得相应系数.（2）当条件中给出的圆心坐标或圆心在某直线上、圆的切线方程、圆的弦长等条件，适合用标准式.＊对应演练＊(1)已知△ABC的三个顶点分别为A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),求其外接圆的方程;(2)已知圆C过点P(1,2)和点Q(-2,3),且圆C在两坐标轴上截得的弦长相等,求圆C的方程.返回目录(1)解法一:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则由题意有-D+5E+F+26=0D=-4-2D-2E+F+8=0E=-25D+5E+F+50=0,F=-20.故所求圆的方程为x2+y2-4x-2y-20=0.返回目录解得{{解法二:由题意可求得AC的中垂线方程为x=2,BC的中垂线方程为x+y-3=0.∴圆心P是两中垂线的交点(2,1).∴半径r=|AP|==5,∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=25,即x2+y2-4x-2y-20=0.返回目录225)-(11)(2++返回目录(2)解法一:如图所示,由于圆C在两坐标轴上所截弦长相等,即AD=EG,∴它们的一半也相等,即AB=GF.又AC=GC,∴Rt△ABC≌Rt△GFC.∴BC=FC.设C(a,b),则|a|=|b|.①又圆C过点P(1,2)和Q(-2,3),∴圆心在PQ的垂直平分线上,即在y-=3(x+)上,即在y=3x+4上,∴b=3a+4.②2521a=-1a=-2b=1b=-2,∴r=或5.故所求圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+2)2=25,即x2+y2+2x-2y-3=0或x2+y2+4x+4y-17=0.返回目录由①知a=±b,代入②得或{{52)-(b1)-(a22=+返回目录解法二:设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.∵圆C过点P(1,2)和点Q(-2,3),∴12+22+D+2E+F=04+9-2D+3E+F=0,E=3D-8F=11-7D.∴圆C的方程为x2+y2+Dx+(3D-8)y+11-7D=0.将y=0代入得x2+Dx+11-7D=0,∴圆C在x轴上截得的弦长为|x1-x2|=解得{{.7D)-4(11-D2将x=0代入得y2+(3D-8)y+11-7D=0.∴圆C在y轴上截得的弦长为|y1-y2|=.由题意有,即D2-4(11-7D)=(3D-8)2-4(11-7D),解得D=4或D=2.故圆C的方程为x2+y2+4x+4y-17=0或x2+y2+2x-2y-3=0.返回目录7D)-4(11-8)-(3D27D)-4(11-8)-(3D2=7D)-4(11-D2已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.【分析】（1）利用垂直列出坐标之间的关系，再化为关于m的方程求解；（2）OP⊥OQ得到O点在以PQ为直径的圆上，再利用勾股定理求解；（3）利用圆的性质列出m的方程求解.考点二圆的方程的综合问题返回目录返回目录【解析】解法一：将x=3-2y，代入方程x2+y2+x-6y+m=0，得5y2-20y+12+m=0.设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1，y2满足条件：y1+y2=4，y1y2=.∵OP⊥OQ，∴x1x2+y1y2=0.而x1=3-2y1，x2=3-2y2.∴x1x2=9-6（y1+y2）+4y1y2.∴m=3，此时Δ＞0,圆心坐标为(-，3)，半径r=.5m12+2125返回目录解法二：如图所示，设弦PQ中点为M，∵O1M⊥PQ，∴.∴O1M的方程为y-3=2(x+)，即y=2x+4.y=2x+4x+2y-3=0，则以PQ为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r2.∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上.∴(0+1)2+(0-2)2=r2，即r2=5，MQ2=r2.在Rt△O1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2.∴(-+1)2+（3-2）2+5=.∴m=3.∴半径为,圆心为(-,3).2=kMO121解得M的坐标为（-1，2）.由方程组{2144m-(-6)12+2521返回目录解法三：设过P，Q的圆系方程为x2+y2+x-6y+m+λ(x+2y-3)=0.由OP⊥OQ知，点O（0，0）在圆上.∴m-3λ=0,即m=3λ.∴圆的方程可化为x2+y2+x-6y+3λ+λx+2λy-3λ=0.即x2+（1+λ）x+y2+2(λ-3)y=0.∴圆心M(),又圆在PQ上,∴+2（3-λ）-3=0,∴λ=1,∴m=3.∴圆心为(，3)，半径为.2)-2(3,21-λλ+21-λ+21-25返回目录【评析】(1)在解决与圆有关的问题中,借助于圆的几何性质,往往会使得思路简捷明了,简化思路,简便运算.(2)本题中三种解法都是用方程思想求m值,即三种解法围绕“列出m的方程”求m值.返回目录＊对应演练＊如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，点T（-1，1）在AD边所在直线上.（1）求AD边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD外接圆的方程；（3）若动圆P过点（-2，0），且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹的方程.（1）因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为-3.又因为点T（-1，1）在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y-1=-3（x+1），即3x+y+2=0.x-3y-6=0，3x+y+2=0，因为矩形ABCD两条对角线的交点为M（2，0），所以M为矩形ABCD外接圆的圆心.又|AM|=从而矩形ABCD外接圆的方程为（x-2）2+y2=8.返回目录解得点A的坐标为（0，-2），（2）由{.22)20(0)-(222=++返回目录（3）因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以|PM|=|PN|+2，即|PM|-|PN|=2.故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2的双曲线的左支.因为实半轴长a=，半焦距c=2.所以虚半轴长b=从而动圆P的圆心的轨迹方程为（x≤-）.2222.2a-c22=12y-2x22=2返回目录考点三圆的最值问题已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.(1)求的最大值和最小值;(2)求y-x的最大值和最小值;(3)求x2+y2的最大值和最小值.【分析】方程x2+y2-4x+1=0表示圆心为(2,0)，半径为的圆;的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，y-x可看作直线y=x+b在y轴上的截距,x2+y2可看作是圆上一点与原点距离的平方，可借助于平面几何知识，利用数形结合求解.xy3xy【解析】解法一:（1）原方程化为(x-2)2+y2=3，表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆，设=k，即y=kx.当直线y=kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时，解之得k=±.故的最大值为，最小值为-.(2)设y-x=b，即y=x+b，当y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时，即b=-2±.故y-x的最大值为-2+，最小值为-2-.返回目录xy31k|0-2k|2=+3xy3332|b0-2|=+666(3)x2+y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知它在原点及圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为2,故(x2+y2)max=(2+)2=7+4,(x2+y2)min=(2-)2=7-4.返回目录3333解法二:（1）同上.x=2+cosθy=sinθ∴y-x=sinθ-cosθ-2=sin（θ-）-2.∴y-x的最大值为-2,最小值为--2.(3)由(2)知x2+y2=（2+cosθ）2+(sinθ)2=4+4cosθ+3=7+4cosθ.∴x2+y2的最大值为7+4，最小值为7-4.返回目录(2)令(θ∈R).{333364π66333333返回目录【评析】与圆有关的最值问题，可借助图形性质，利用数形结合求解.一般地:①形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题;②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题;③形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题等.a-xb-y=u＊对应演练＊已知点P（x，y）是圆（x+2）2+y2=1上任意一点.（1）求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值.（2）求x-2y的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值.1-x2-y返回目录(1)圆心C（-2，0）到直线3x+4y+12=0的距离为∴P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为d+r=+1=，最小值为d-r=-1=.返回目录5643|1204(-2)3|d22=++×+×=565115651（2）设t=x-2y，则直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点.∴≤1.∴--2≤t≤-2,∴tmax=-2,tmin=-2-.（3）设k=，则直线kx-y-k+2=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点，∴≤1.∴≤k≤,∴kmax=,kmin=.返回目录2221|t--2|+55551-x2-y1k|2-3k|2++43-3433+433+43-3返回目录1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法,是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.