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学案6椭圆返回目录1.椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.这叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的.两个定点焦距返回目录2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程图形性质范围≤x≤≤y≤≤x≤≤y≤对称性对称轴：对称中心：0)b1(abyax2222=+0)b1(abxay2222=+-aa-bb-bb-aax轴,y轴原点性质顶点A1,A2B1,B2A1,A2B1,B2轴长轴A1A2的长为短轴B1B2的长为焦距|F1F2|=2c(c=)离心率e=∈,其中c=αc返回目录(-a,0)(a,0)(0,-b)(0,b)(0,-a)(0,a)(-b,0)(b,0)2a2b22b-a(0,1)22b-a返回目录一动圆与已知圆O1：（x+3）2+y2=1外切，与圆O2：（x-3）2+y2=81内切，试求动圆圆心的轨迹方程.【分析】两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，据此可以找到动圆圆心满足的条件.考点一椭圆的定义返回目录【解析】两定圆的圆心和半径分别为O1（-3，0），r1=1；O2（3，0），r2=9.设动圆圆心为M（x，y），半径为R，则由题设条件可得|MO1|=1+R，|MO2|=9-R.∴|MO1|+|MO2|=10.由椭圆的定义知，M在以O1，O2为焦点的椭圆上，且a=5，c=3.∴b2=a2-c2=25-9=16.故动圆圆心的轨迹方程为.116y25x22=+返回目录【评析】平面内一动点与两个定点F1，F2的距离之和等于常数2a，当2a＞|F1F2|时，动点的轨迹是椭圆；当2a=|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2；当2a＜|F1F2|时，轨迹不存在.＊对应演练＊已知△ABC中，A（-1，0），C（1，0），且边a，b，c成等差数列，求顶点B的轨迹方程.返回目录设B（x，y），∵a+c=2b，∴|BC|+|BA|=4.又∵A，C为定点，∴由椭圆定义知，动点B的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，设其方程为，∴c=1，a=2，b2=3，∴椭圆方程为.又A，B，C不共线，∴y≠0,即x≠±2.∴所求B点的轨迹方程为(x≠±2).返回目录1byax2222=+13y4x22=+13y4x22=+返回目录【分析】利用待定系数法求椭圆方程.考点二椭圆的标准方程（1）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点p(3,0),求椭圆的方程.（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1（，1）P2（-,-）,求椭圆的方程.632【解析】（1）若焦点在x轴上，设方程为（a＞b＞0）.∵椭圆过P（3，0），∴.又2a=3×2b,∴a=3,b=1,方程为.若焦点在y轴上，设方程为（a＞b＞0）.∵椭圆过点P（3，0），∴又2a=3×2b,∴a=9,b=3.∴方程为.∴所求椭圆的方程为或.返回目录1byax2222=+1b0a32222=+1y9x22=+1bxay2222=+1.b3a02222=+19x81y22=+1y9x22=+19x81y22=+返回目录（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0,n＞0且m≠n）.∵椭圆经过P1，P2点，∴P1，P2点坐标适合椭圆方程，6m+n=1，①3m+2n=1，②m=,n=.∴所求椭圆方程为则{{①②两式联立，解得91311.3y9x22=+返回目录【评析】运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于a，b的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1（m＞0,n＞0,m≠n），由题目所给条件求出m，n即可.返回目录＊对应演练＊根据下列条件分别求椭圆的标准方程：（1）中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为，长轴长为8；（2）椭圆经过点M（-2，）和N（1，2）.21332a=8a=4c=2,∵焦点可在x轴上,也可在y轴上,∴所求椭圆方程为或.返回目录(1)由已知得21ac={b2=16-4=12.{⇒112y16x22=+112x16y22=+(2)由已知可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0,m≠n).又∵M(-2,)和M(1,2)在椭圆上,4m+3n=1①m+12n=1②由①②解之得m=，n=.∴所求椭圆方程为.33{∴51151115y5x22=+返回目录返回目录自椭圆(ab0)上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且其长轴右端点A及短轴上端点B的连线AB与OM平行.（1）求此椭圆的离心率；（2）P为椭圆上一点，F2为右焦点，当|PF1|·|PF2|取最大值时，求点P的坐标.【分析】本题涉及等量关系转为不等关系，在与所求量有关的参量上作文章是实现转化的关键，还有离心率的求解问题，关键是根据题设条件获得关于a,b,c的关系式，最后化归为a,c（或e）的关系式，利用方程求解.考点三椭圆的几何性质1byax2222=+返回目录【解析】（1）如图所示，由已知得M（-c,）.∵A(a,0),B(0,b),∴kAB=.由kOM=kAB得b=c.∴b2=c2.∴a2-c2=c2,即a2=2c2,∴e=.ab2ab-22（2）解法一：∵|PF1|+|PF2|=2a,∴|PF1|·|PF2|≤.当且仅当|PF1|=|PF2|时，上式取等号.即|PF1|·|PF2|的最大值为a2,此时点P的坐标为(0,-b)或(0,b).解法二：由焦半径公式得：|PF1|·|PF2|=（a+ex0）(a-ex0)=a2-e2.(x0为P的横坐标)∵-a≤x0≤a,∴当x0=0时，|PF1|·|PF2|取最大值a2,此时点P的坐标为(0,-b)或(0,b).返回目录2221a)2|PF||PF|(=+20x返回目录【评析】（1）求椭圆离心率的题目大致分为两类：一类利用椭圆定义及性质直接得出离心率e的式子（或与椭圆的统一定义有关）；另一类利用条件（题设条件）获得关于a,b,c的关系式，最后化归为关于a,c（或e）的关系式（关于a,c的齐次方程），再依e=化成关于e的方程，利用方程思想求离心率.（2）求有关最值或范围问题，一般利用椭圆的定义中|PF1|+|PF2|=2a为定值，运用均值不等式或利用焦半径公式或利用椭圆的范围（有界性）性质转化为不等式函数问题，是解析几何中解决最值或范围问题的常见方法.ac返回目录＊对应演练＊已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.设椭圆方程为（a＞b＞0）,|PF1|=m,|PF2|=n.在△PF1F2中,由余弦定理可知,4c2=m2+n2-2mncos60°.∵m+n=2a,∴m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-2mn,∴4c2=4a2-3mn.即3mn=4a2-4c2.又mn≤=a2(当且仅当m=n时取等号),∴4a2-4c2≤3a2,∴,即e≥.∴e的取值范围是[,1）.返回目录1byax2222=+2)2nm(+41ac22≥2121返回目录(2)证明:由(1)知mn=b2,∴=mnsin60°=b2,即△PF1F2的面积只与短轴长有关.34S21FPFΔ2133返回目录考点四椭圆方程与性质的应用如图所示，直线y=kx+b与椭圆+y2=1交于A，B两点，记△AOB的面积为S.（1）求在k=0，0b1的条件下，S的最大值.（2）当︱AB︱=2，S=1时，求直线AB的方程.【分析】由条件写出S关于b的函数关系式，利用基本不等式求S的最值.2x4返回目录【解析】（1）设点A的坐标为（x1，b），点B的坐标为（x2，b），由+b2=1，解得x1，2=±2,所以S=b·|x1-x2|=2b·=2≤b2+(1-b2)=1,当且仅当b=时，S取得最大值1.2x421-b1221-b22b(1-b)22y=kx+b，+y2=1，（k2+）x2+2kbx+b2-1=0，则Δ=4k2-b2+1，①|AB|=·|x1-x2|=·=2.②设O到AB的距离为d，则d==1，又因为d=，所以b2=k2+1，代入②式并整理，得k4-k2+=0，返回目录（2）由得2x414{21+k21+k2224k-b+11+k42S|AB|2|b|1+k14解得k2=，b2=，代入①式检验，Δ＞0,故直线AB的方程是y=x+,或y=x-,或y=-x+,或y=-x-.返回目录12322262226222622262【评析】圆锥曲线中的最值问题是高考中的重要题型,其解法主要有定义法、图象法、基本不等式法、切线法等，本例是用基本不等式法解决的.返回目录＊对应演练＊已知F1，F2是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=90°,求椭圆离心率的最小值.解法一：如图所示，∵∠F1PF2=90°,∴∠F1BF2≥90°,∴∠OBF2≥45°.∴e==sin∠OBF2≥sin45°=,∴椭圆离心率的最小值为.2222xy+=1ab返回目录22OFc=aBF2222返回目录解法二：利用余弦定理.∵∠F1BF2≥90°,∴cos∠F1BF2=≤0,即a2≤2c2,∴e=≥，则椭圆离心率的最小值为.解法三：利用基本不等式.设|PF1|=m，|PF2|=n，∴m2+n2=4c2.又2a=m+n，∴4a2=m2+n2+2mn≤2(m2+n2)=8c2,即a2≤2c2,∴e=≥.则椭圆离心率的最小值为.2222a+a-4c2aca2222ca2222返回目录1.椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a+c，最小距离为a-c.2.过焦点弦的所有弦长中，垂直于长轴的弦是最短的弦，而且它的长为.把这个弦叫椭圆的通径.3.求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2=a2-c2就可求得e（0＜e＜1）.22ba4.求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：（1）中心是否在原点，（2）对称轴是否为坐标轴.5.注意椭圆的范围，在设椭圆（a＞b＞0）上点的坐标为P（x，y）时，则|x|≤a,这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.2222xy+=1ab返回目录