高中数学恒成立问题中含参范围的求解策略

用心爱心专心115号编辑恒成立问题中含参范围的求解策略周云才数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。一、分离参数——最值化对于某些恒成立问题，可将其中的参数分离出来，将原问题转化为)x(fa（或)x(fa）在给定区间上恒成立max)x(fa（或min)x(fa），从而将原问题转化为求函数的最大值或最小值问题。例1当]1,(x时，不等式0124)aa(xx2恒成立，求实数a的取值范围。解析：因04x，所以xx22141aa对]1,(x恒成立，即有maxxx22141aa，由于xx2141)x(f在]1,(上是增函数，所以当1x时，432141)x(f11max，所以.23a2103a4a443aa22例2设cba且camcb1ba1恒成立，求实数m的取值范围。解析：由于ca，所以0ca，于是cb1ba1)ca(m恒成立，因2cbbabacb11cb1ba1)]cb()ba[(cb1ba1)ca(.4cbbabacb2（当且仅当bacb时取等号），故4m。二、数形结合——直观化对于某些不容易分离出参数的恒成立问题，可利用函数的图像或相应图形，采用数形结合的思想，直观地反应出参数的变化范围。例3当0x时，恒有05ax6x)a5(2成立，求实数a的取值范围。解析：令5ax6x)a5()x(f2，由题意，0)x(f对),0[x恒成立。（1）当0a5，即5a时，有010x6对),0[x恒成立。（2）当0a5时，结合二次函数的图像，有0a50)0(f0)a5(26用心爱心专心115号编辑或0)5a)(a5(4360a50)a5(26.5a54a45a5或综合（1）（2）得].5,5(a例4设])1k2,1k2(I,Ix()k2x()x(fkk2表示区间，对于任意正整数k，直线axy与)x(f恒有两个不同的交点，求实数a的取值范围。解析：作出2)k2x()x(f在区间]1k2,1k2(上的图像，由图像知，直线axy只能绕原点O从x正半轴旋转到过点)1,1k2(A的范围，直线AO的斜率为,1k2101k201于是实数a的取值范围是.1k21a0三、巧妙赋值——特殊化在某些恒成立问题中，恰当地取特殊的数或考虑特殊的情形，探求出参数的值或范围，再加以证明，不失为一个好办法。例5是否存在常数c，使得不等式yx2yy2xxcy2xyyx2x对任意的正实数x，y恒成立？并证明你的结论。解析：令yx得32c32，有.32c先证32y2xyyx2x成立证)y2x)(yx2(2)yx2(y3)y2x(x3成立证22yxxy2成立，此时显然成立。再证32yx2yy2xx成立。证)yx2)(y2x(2)y2x(y3)yx2(x3成立证xy2yx22成立，此时也显然成立。故存在常数c，使得原不等式对任意的正实数x，y恒成立。例6设xsin3xcos21)x(f。若对于任意1)cx(bf)x(af,Rx恒成立，试确定常数a，b，c。用心爱心专心115号编辑解析：取,2,0x分别代入已知等式，即)3(ba41csinb2ccosb3)2(ba1csinb3ccosb2)1(ba31csinb3ccosb2（1）＋（2）得，1ba（4）由（2）（3）（4）得)0b(b1bccos,0csin由1ccoscsin22得22)1b(b，解得21b，从而.21a再由1b1bccos再).Zk(k2c将求解的a、b、c代入已知等式验证适合，故)Zk(k2c,21ba四、变更主元——简单化对含多个变量问题，有时变换主元与次元的位置，常能达到避繁就简的目的。例7对于]1,1[a，不等式1ax2axx21212恒成立，求实数x的取值范围。解析：不等式1ax2axx21212不等式1ax2axx2即)1x(a)1x(2对于]1,1[a恒成立。记2)1x()1x(a)a(f，则问题转化为一次函数（或常数函数）在区间［－1，1］内恒为正的x应满足的条件。由0)1(f0)1(f得0x0)1x()1x(0)1x()1x(22或.2x故实数x的取值范围是).,2()0,(恒成立问题中含参范围的求解策略较多，但主要有以上四种常见方法，其实质是一种等价转化的思想，可见，只要我们在解题中善于归纳和总结，就一定会积累更多的经验和方法，从而更好地提高我们的解题能力。