高中数学第二章《解析几何初步》圆的标准方程课件北师大版必修

高中数学必修2第二章解析几何初步让我们一起来欣赏如下几幅风景画，我们能发现什么几何图形？设此圆的半径为r米，如何写出此圆的方程？0OA(-r,0)P(x,y)B(r,0)YX二、取圆上任意一点P(x,y)，则：OP=r一、建立适当的直角坐标系，如右图所示：以圆心O为原点。即：即：所以此圆的方程为：ryx22)0()0(222ryx求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程xCPrOy说明：特点：明确给出了圆心坐标和半径。设M(x,y)是圆上任意一点，根据定义，点M到圆心C的距离等于r，由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为：(x-a)2+(y-b)2=r把上式两边平方得：(x-a)2+(y-b)2=r2于是我们得到：方程2220xaybrr叫做以（ɑ，b）为圆心，r为半径的圆的标准方程。若圆心为（0，0）时，此方程变为：2220xyrr如果圆的方程为：此圆的圆心在原点（0，0），半径为r。1、求圆心为（2，-1），半径为3的圆的方程。解：以圆的标准方程有：222213xy所求圆的方程为：解：因为圆C过原点，故圆C的半径2、求圆心为（2，-3），且过原点的圆C的方程。222313r因此，所求圆C的方程为：222313xy例题讲解(x-3)2+(y-4)2=5练习：1、写出下列各圆的方程：(1)圆心在点C(3,4)，半径是(2)经过点P(5,1),圆心在C(8,-3)5(x-8)2+(y+3)2=25补充练习：写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1)(x-1)2+y2=6(2)(x+1)2+(y-2)2=9(3)(x+a)2+y2=a2(1,0)6(-1,2)3(-a,0)|a|1、求以点C（2，1）为圆心，并且与Y轴相切的圆的方程。XY0C（2，1）解：依图知：圆C的半径为2，则所求圆的标准方程：22214xy问：若此圆C的圆心为（2，1），且与X轴相切，它的方程是什么？？22211xyXC（2，1）练习:已知两点A(4,9),B(6,3),求以AB为直径的圆的方程.A(4、9)B(6、3)X0Y解:),(baAB的中点为设.6239,5264ba则102)93()46(22AB10)6()5(22yx故所求圆的方程为.)3,6(,)6()5(2222rBryx代入得把点设圆的方程为2、已知点A（-4，-1），B（6，-1），求以线段AB为直径的圆的方程。（分析：线段AB为直径，则圆心为线段AB的中点，半径为线段AB的一半。）解：以中点坐标公式有：圆心坐标为（1，-1），又以两点距离公式有：22641110AB故圆的方程为：221125xy所以圆的半径为52222221)4(1)3()2(8)1)(2(;0)1(?yxxyyxyx图形下列方程分别表示什么?45)1()21(22对称的圆的方程是什么关于直线圆xyyx45)21()1(22yx练习4：已知圆的方程是x2+y2=1，求：（1）斜率等于1的切线的方程；2（2）在y轴上截距是的切线方程。y=±x+2所以切线方程为：y=x±2解：设切线方程为y=x+b,由圆心到切线的距离等于半径1，得：12+(-1)2=1解得b=±2|b|例2求经过圆上一点已知圆的方程是,222ryx.),(00的切线方程yxMXY0),(00yxM解:)(,00xxkyy设切线方程为如图,00xykOMOM的斜率为半径00,yxkOM所以垂直于圆的切线因)(0000xxyxyy切线方程为202000,yxyyxx整理得,22020ryx200ryyxx所求圆的切线方程为圆的方程是，经过圆上一点的切线的方程222ryx),(00yxMx0x+y0y=r2过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2例:已知隧道的截面是半径为4米的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7米，高为3米的货车能不能驶入这个隧道？解：（如右图）建立直角坐标系，则半圆的方程为：AB42.7XY022160xyy则：2162.78.713y2.7x车宽为2.7米即：车高于隧道高度，故货车不能驶入此隧道。例3：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m)yx解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）圆的半径是r,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2。把P（0，4）B（10，0）代入圆的方程得方程组：02+(4-b)2=r2102+(0-b)2=r2解得：b=-10.5r2=14.52所以圆的方程是：x2+(y+10.5)2=14.52把点P2的横坐标x=-2代入圆的方程，得(-2)2+(y+10.5)2=14.52因为y0,所以y=14.52-(-2)2-10.5≈14.36-10.5=3.86(m)答：支柱A2P2的长度约为3.86m。的取值范围。求的内部，在圆点aayaxA4)()()1,1(22