高中新课程数学(苏教)二轮复习精选第一部分 25个必考问题 专项突破《必考问题6 平面向量》课

必考问题6平面向量返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛抓住命题方向返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【真题体验】1．(2011·江苏，10)已知e1，e2是夹角为23π的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则k的值为________．解析因为e1，e2是夹角为23π的两个单位向量，所以e1·e2＝e1e2cos〈e1，e2〉＝cos2π3＝－12，又a·b＝0，所以(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，即k－12－2＋(－2k)－12＝0，解得k＝54.答案54返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛2．(2012·江苏，9)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB→·AF→＝2，则AE→·BF→的值是________．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛解析以顶点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2，0)，E(2，1)，设F(x,2)，所以AB→·AF→＝(2，0)·(x,2)＝2x＝2⇒x＝1，即F(1,2)，所以AE→·BF→＝(2，1)·(1－2，2)＝2(1－2)＋2＝2.答案2返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛3．(2010·江苏，15)在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t满足(AB→－tOC→)·OC→＝0，求t的值．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛解(1)法一由题设知AB→＝(3,5)，AC→＝(－1,1)，则AB→＋AC→＝(2,6)，AB→－AC→＝(4,4)．所以|AB→＋AC→|＝210，|AB→－AC→|＝42.故所求的两条对角线的长分别为42，210.法二设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则E为B，C的中点，E(0,1)，又E(0,1)为A，D的中点，所以D(1,4)．故所求的两条对角线的长分别为BC＝42，AD＝210；返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛(2)由题设知：OC→＝(－2，－1)，AB→－tOC→＝(3＋2t,5＋t)．由(AB→－tOC→)·OC→＝0，得：(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－115.或者：AB→·OC→＝tOC→2，AB→＝(3,5)，t＝AB→·OC→|OC→|2＝－115.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【高考定位】高考对本内容的考查主要有：平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B级，只有平面向量的应用为A级要求，平面向量的数量积为C级要求，应特别重视．试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与三角函数综合考查，构成中档题．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【应对策略】平面向量具有几何与代数形式的“双重性”，是中学数学知识网络的重要交汇点，它与三角函数、解析几何、平面几何都可以整合在一起．这其中又以向量与三角函数的综合问题为高考中最常见，是当前的一个热点，但通常难度不大，一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，而考查的主体部分则常是三角函数的恒等变换，以及解三角形等知识点．在复习中，我们应加强这种类型试题的训练，争取此类问题拿满分．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛必备知识方法返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛必备知识1．向量的概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为±a|a|.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量．(5)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做b在向量a方向上的投影．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛2．向量的运算(1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，应熟练掌握其运算规律．(2)平面向量的数量积的结果是实数，而不是向量．要注意数量积运算与实数运算在运算律方面的差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去律．a·b的运算结果不仅与a，b的长度有关，而且也与a，b的夹角有关，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛3．两非零向量平行、垂直的充要条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0；a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛必备方法1．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量MN→＝ON→－OM→(其中O为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛2．根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量a，b互相垂直，反之也成立．3．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛热点命题角度返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛命题角度一平面向量的线性运算[命题要点]①用已知向量表示其它向量；②向量的加法、减法、数乘运算．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【例1】►(2012·大纲全国改编)△ABC中，AB边的高为CD，若CB→＝a，CA→＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD→＝________.[审题视点]由a·b＝0，可得∠ACB＝90°，再利用直角三角形中的有关性质建立关系式求解．[听课记录]返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛解析如图，∵a·b＝0，∴a⊥b，∴∠ACB＝90°，∴AB＝AC2＋BC2＝5.又CD⊥AB，∴AC2＝AD·AB，∴AD＝455.∴AD→＝45AB→＝45(a－b)＝45a－45b.答案45a－45b返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛在进行向量线性运算时要尽可能地挖掘题中的条件，利用相关图形的性质解题，把未知量转化成与已知量有直接关系的向量来求解．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【突破训练1】(2012·扬州质量检测)已知G1，G2分别为△A1B1C1与△A2B2C2的重心，且A1A2→＝e1，B1B2→＝e2，C1C2→＝e3，则G1G2→＝________.(用e1，e2，e3表示)返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛解析根据向量的线性运算求解．由A1A2→＝A1G1→＋G1G2→＋G2A2→＝e1，①B1B2→＝B1G1→＋G1G2→＋G2B2→＝e2，②C1C2→＝C1G1→＋G1G2→＋G2C2→＝e3，③且G1，G2分别为△A1B1C1与△A2B2C2的重心，所以A1G1→＋B1G1→＋C1G1→＝0，G2A2→＋G2B2→＋G2C2→＝0，将①②③相加得G1G2→＝13(e1＋e2＋e3)．答案13(e1＋e2＋e3)返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛命题角度二向量共线定理的应用[命题要点]①应用向量共线定理求字母的取值；②向量共线定理与其他知识的综合应用．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【例2】►(2012·南通调研)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且3aBC→＋4bCA→＋5cAB→＝0，则a∶b∶c＝________.[审题视点]利用向量的线性运算及向量的共线定理求解．[听课记录]返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛解析因为BC→＝AC→－AB→，所以原式可以变形为(3a－4b)AC→－(3a－5c)AB→＝0，且AC→，AB→不共线，所以3a＝4b＝5c，解得a∶b∶c＝20∶15∶12.答案20∶15∶12返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【突破训练2】(2012·徐州质检)已知向量a＝(sinθ，cosθ)，b＝(3，－4)，若a∥b，则tan2θ＝________.解析由a∥b可得－4sinθ－3cosθ＝0，解得tanθ＝－34，所以tan2θ＝2×－341－－342＝－247.答案－247返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛命题角度三平面向量的数量积[命题要点]①数量积的定义；②利用数量积求夹角；③数量积与线性运算的综合应用．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【例3】►如图，△ABC是边长为23的等边三角形，P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则(AP→·BP→)min＝________.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛[审题视点]根据已知条件及向量运算化简目标函数，再求最小值．[听课记录]返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛解析取AB的中点D，连接CD、CP.所以AP→·BP→＝(AC→＋CP→)·(BC→＋CP→)＝AC→·BC→＋CP→·(AC→＋BC→)＋CP→2＝(23)2×12－CP→·2CD→＋1＝7－6cos〈CP→，CD→〉，当cos〈CP→，CD→〉＝1时，AP→·BP→取得最小值1.答案1返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛求数量积的最值，一般要先利用向量的线性运算，尽可能将所求向量转化为长度和夹角已知的向量，利用向量的数量积运算建立目标函数，利用函数知识求解最值．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【突破训练3】(2012·苏州期中)已知O，A，B是平面上不共线的三点，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，若|OA→|＝7，|OB→|＝5，则OP→·(OB→－OA→)的值为________．解析设AB的中点为C，则OP→·(OB→－OA→)＝(OC→＋CP→)·AB→＝OC→·AB→＝12(OA→＋OB→)·(OB→－OA→)＝12(|OB→|2－|OA→|2)＝12(25－49)＝－12.答案－12返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛命题角度四向量与其他知识的综合应用[命题要点]①向量与三角函数综合；②向量与函数综合；③向量与其它知识的综合．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【例4】►(2012·江苏，15)在△ABC中，已知AB→·AC→＝3BA→·BC→.(1)求证：tanB＝3tanA；(2)若cosC＝55，求A的值．[审题视点](1)利用已知条件、数量积定义及正弦定理知识转化为关于A，B的三角函数式求证．(2)由cosC＝55⇒sinC⇒tanC⇒tan(A＋B)⇒tanA⇒A.[听课记录]返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛(