中考数学中的数形结合

长乐中学：周浩雄1、已知实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|-a的结果是（）A.2a+bB.2aC.aD.bb0aD【解析】选D.由图可知|a+b|＞0,∴|a+b|=a+b,∴原式=a+b-a=b.2、三角形的三边分别是a、b、c,且满足(a+b)2-c2=2ab,则此三角形是:()A.直角三角形;B.是锐角三角形;C.是钝角三角形;D.是等腰直角三角形.A【解析】原式化简得a2+2ab+b2-c2=2ab,∴a2+b2=c2∴此三角形是直角三角形3、如图，一次函数y=x-1与反比例函数y=的图像相交于A、B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是（）A．x＜－1B．x＞2C．－1＜x＜0，或x＞2D．x＜－1，或0＜x＜2x2－3xABOy2123－1－213－3－1－2①②③④C数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.NO1.（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）以几何元素为背景建立起来的三角函数等概念；NO2.以数解形----通过数的精确性来阐明形的某些属性.以形助数----通过形的直观性来阐明数之间某种关系.NO3.例1、如图是国际数学家大会会标，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的13123较长直角边为a，较短直角边为b，求a、b的值.32m20m例2、如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．xx32m20m例2、如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．32m20m例2、如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．1xBACOxy例3：已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0)的对称轴为x=-1,与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,线段OA、OC（OA﹥OC）的长分别是方程的两根0652xx（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE//PC交x轴于点E,连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S.求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．例3：已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0)的对称轴为x=-1,与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,线段OA、OC（OA﹥OC）的长分别是方程的两根0652xx（1）求这条抛物线的函数表达式．1xBACOxy∴抛物线的解析式为234322xxy2,30)2)(3(065212xxxxxx解：∵OA﹥OC∴OA=3，OC=2，∴A(-3,0）、C（0，-2）23432cba得212039cabcba则（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．【分析】BC的长度为定值，∵B点关于对称轴的对称点是A点，∴PB=PA0,31x2,0BACOxyP当A、P、C三点一线时，PC+PA最短，即PC+PB最短AC所在直线与对称轴x=-1的交点即为所求的点P∴△PBC周长最小，就是使PC+PB最小（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．解：∵BC的长度一定，∴△PBC周长最小，就是使PC+PB最小.B点关于x=-1的对称点是A点．0,31x2,0BPACOxy设直线AC的表达式为y=kx+b，203bbk232bk则解得∴此直线的表达式为232xy将x=-1代入得34y∴P点的坐标为（-1，）．34（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE//PC交x轴于点E,连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S.求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．S0,31x2,0EDBPmACOxy34,10,32,0EDBmACOxy∴△OED∽△OAC【解析】DE//PC即DE//AC即=22m3OEOEOAODOC=∴m2∴OE＝3－32mm233AE＝32mm23（3）DE//PC交x轴于点E．设CD的长为m，△PDE的面积为S.求S与m之间的函数关系式．ACOxy0,32,0EDBPm34,1m23m233m2SS＝S△AOC－S△AEP－S△EOD－S△DCP【方法一】（3）DE//PC交x轴于点E．设CD的长为m，△PDE的面积为S.求S与m之间的函数关系式．【方法二】S＝S四边形PDOE－S△OED＝S△EOP＋S△ODP－S△OEDACOxy0,32,0EDBPm34,1m233m2S【方法二】S＝S四边形PDOE－S△OED＝S△POE＋S△POD－S△OEDACOxy0,32,0EDBPm34,1m233m2SACOxy0,32,0EDBPm34,1m23m233m2SS＝S△AOC－S△AEP－S△EOD－S△DCP【方法一】mHGm2330,3ACOx2,0EDPmy34,1FS△EDP=S△PFE+S△PFD【方法三】PF21PF21=EGHD=21PF(EG+HD))233(21mm==21PF(EG+GO)EOPF21=【方法四】连接EC，∵DE∥AC∴△EDP与△EDC同底（ED为底）等高（平行线间的距离相等）（3）DE//PC交x轴点E．设CD的长为m，△PDE的面积为S.求S与m之间的函数关系式．0,3ACOxy2,0EDBP=)233(21mmmm23432COxy∴S△EDP=S△EDCEDBmm233OECD21=（CD为底，OE为高）（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE//PC交x轴于点E,连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S.求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．∴当,1mS最大430,3EDP1x2,0BmACOxy∴∴OE＝3－32m解:∵DE∥PC,即DE∥AC∴△OED∽△OAC即=22m3OEOEOAODOC=∴OECD21=)233(21mmmm2343243)1(432m则S△EDP=S△EDC连接EC=数形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。－－华罗庚1、如图,点P是反比例函数图象上的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为.xy2PDoyx1S△POD=OD·PD==2121nmk212、已知⊙O的半径为13cm，弦AB//CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB、CD之间的距离为（）A．17cmB．7cmC．12cmD．17cm或7cmD图(1)图(2)MOBOBADCADCNNM【解析】选D.如图所示，进行计算可知选D.3、从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图），然后拼成一个平行四边形（如图）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为.a2-b2=(a+b)(a-b)oyxoyxoyxoyx4、已知k10＜k2，则函数y=k1x和的图像大致是()xky2A.B.C.D.DoyxoyxoyxoyxA.B.C.D.5、如图，等腰梯形ABCD内接于半圆D，且AB=1，BC=2，则OA=（）。A.B.C.D.2312323251A6、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，给出下列说法：①abc＜0；②方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1＝－1.x2＝3；③当x＞1时，y随x值的增大而减小；④当y＞0时，－1＜x＜3．其中正确的说法是（）A．①B．①②C．①②③D．①②③④Oxy13－1D7、如图，A（-1，0）.B（2，-3）两点在一次函数y1=－x+m与二次函数y2=ax2+bx－3图象上.（1）求m的值和二次函数的解析式.（2）请直接写出使y1y2时，自变量x的取值范围.332403baba21ba，解得【解析】（1）把A（-1，0）代入y1=－x+m得：0=－（-1）+m，∴m=-1.把A（－1，0）,B（2，－3）两点代入y2=ax2+bx－3得：∴y2=x2-2x－3.（2）当y1y2时，-1＜x＜28、已知直线与双曲线交于A、B两点，且点A的横坐标为4.（1）求k的值；（2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求ΔAOC的面积；（3）过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（P在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标。xy21)0(kxky)0(kxky)0(kxkyxoyBA