倍长中线构造全等三角形

1巧添辅助线——倍长中线【夯实基础】例：ABC中，AD是BAC的平分线，且BD=CD，求证AB=AC方法1：作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，证明二次全等方法2：辅助线同上，利用面积方法3：倍长中线AD【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC中方式1：延长AD到E，AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD到N，作BE⊥AD的延长线于E使DN=MD，连接BE连接CD【经典例题】例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE方法1：过D作DG∥AE交BC于G，证明ΔDGF≌ΔCEF方法2：过E作EG∥AB交BC的延长线于G，证明ΔEFG≌ΔDFB方法3：过D作DG⊥BC于G，过E作EH⊥BC的延长线于H证明ΔBDG≌ΔECHCDABDABCEDABCFEDCBANDCBAMFECABD2例3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF提示：倍长AD至G，连接BG，证明ΔBDG≌ΔCDA三角形BEG是等腰三角形例4：已知：如图，在ABC中，ACAB，D、E在BC上，且DE=EC，过D作BADF//交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分BAC提示：方法1：倍长AE至G，连结DG方法2：倍长FE至H，连结CH例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE提示：倍长AE至F，连结DF证明ΔABE≌ΔFDE（SAS）进而证明ΔADF≌ΔADC（SAS）【融会贯通】1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论提示：延长AE、DF交于G证明AB=GC、AF=GF所以AB=AF+FCFEDABC第1题图ABFDECEDABCFEABCD32、如图，AD为ABC的中线，DE平分BDA交AB于E，DF平分ADC交AC于F.求证：EFCFBE提示：方法1：在DA上截取DG=BD，连结EG、FG证明ΔBDE≌ΔGDEΔDCF≌ΔDGF所以BE=EG、CF=FG利用三角形两边之和大于第三边方法2：倍长ED至H，连结CH、FH证明FH=EF、CH=BE利用三角形两边之和大于第三边3、已知：如图，ABC中，C=90，CMAB于M，AT平分BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB交BC于E，求证：CT=BE.提示：过T作TN⊥AB于N证明ΔBTN≌ΔECD第14题图DFCBEADABCMTE