常微分方程

第二章一阶微分方程的初等解法§2.1变量分离方程与变量变换2.1.1、变量分离方程1)形如()()dyfxgydx(或1122()()()()0MxNydxMxNydy)（2.1）的方程，称为变量分离方程，其中函数()fx和()gy分别是,xy的连续函数.如果()0gy，方程(2.1)可化为，()()dyfxdxgy这样变量就分离开了,两边积分,得到()()dyfxdxcgy（2.2）把,()()dyfxdxgy分别理解为1,()()fxy的某一个原函数.容易验证由（2.2）所确定的隐函数(,)yxc满足方程（2.1）.因而（2.2）是（2.1）的通解.注:如果存在0y使0()0gy，可知0yy也是（2.1）的解.可能它不包含在方程的通解（2.2）中，必须补上特解0yy.例1解方程2cosdyyxdx解将变量分离，得到2cosdyxdxy两边积分，即得1sinxcy因而，通解为1sinyxc这里的c是任意的常数.此外，方程还有解0y.例2求方程()dyPxydx（2.3）的通解，其中()Px是x的连续函数.解将变量分离，得到()dyPxdxy两边积分，即得ln()yPxdxc这里的c是任意常数.由对数的定义，即有()Pxdxcye即()Pxdxcyee令cec，得到()Pxdxyce（2.4）2.1.2、可化为变量分离方程的类型1）形如dyygdxx（2.5）的方程，称为齐次微分方程，这里的()gu是u的连续函数.对齐次方程（2.5）利用变量替换可化为变量分离方程再求解.令yux（2.6）即yux，于是dyduxudxdx（2.7）将（2.6）、（2.7）代入（2.5），则原方程变为()duxugudx整理后，得到()duguudxx（2.8）方程（2.8）是一个可分离变量方程，按照变量分离法求解，然后将所求的解代回原变量，所得的解便是原方程（2.5）的解.2）形如111222axbycdydxaxbyc（2.13）的方程经变量变换化为变量分离方程，这里的121212,,,,,aabbcc均为常数.分三种情况来讨论（1）111222()abckabc常数情形.此时方程可化为=kdydx有通解ykxc这里的c是任意的常数.（2）111222abckabc情形.设22uaxby，则有122222kucdudyababdxdxuc这是一变量分离方程.（3）1122abab情形.这时方程（2.13）右端的分子、分母都是,xy的一次式，因此11122200axbycaxbyc（2.14）代表xoy平面上两条相交的直线，设交点为(,).若令XxYy（2.15）则（2.14）化为112200aXbYaXby从而（2.13）变为1122aXbYdYYgdXaXbYX（2.16）这是一变量分离方程，求解此变量分离方程即可上述解题的方法和步骤也适用于比方程（2.13）更一般的方程类型111222axbycdyfdxaxbyc此外，诸如()dyfaxbycdx()()0yxydxxgxydy2()dyxfxydx2dyyxfdxx以及(,)()(,)()0MxyxdxydyNxyxdyydx（其中,MN为,xy的齐次函数，次数可以不相同）等一些方程类型，均可通过适当的变量变换化为变量分离方程.§2.2线性方程与常数变易法2.2.1、一阶线性微分方程()()dyPxyQxdx（2.28）(),()PxQx在考虑的区间上是x的连续函数.若()0Qx，（2.28）变为()dyPxydx（2.3）称为一阶齐次线性微分方程.若()0Qx，（2.28）称为一阶非齐次线性微分方程.2.2.2、常数变易法（2.3）是变量分离方程，已在例2中求得它的通解为()Pxdxyce（2.4）这里c是任意的常数.一阶非齐线性方程（2.28）的求解方法：将常数c变易为x的待定函数()cx,令()()Pxdxycxe（2.29）两边微分，得到()()()()()PxdxPxdxdydcxecxPxedxdx（2.30）将（2.29）、（2.30）代入（2.28），得到()()()()()()()()()PxdxPxdxPxdxdcxecxPxePxcxeQxdx即()()()PxdxdcxQxedx积分后得到()()()PxdxcxQxedxc（2.31）这里c是任意的常数.将（2.31）代入（2.29），得到()()()()()()=()PxdxPxdxPxdxPxdxPxdxyeQxedxcceeQxedx（2.32）这就是方程（2.28）的通解.这种将常数变易为待定函数的方法，通常称为常数变易法.例1试证（1）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；（2）若()yyx是（2.3）的非零解，而()yyx是（2.28）的解，则（2.28）的通解可表为()()ycyxyx，其中c为任意常数.（3）方程（2.3）任一解的常数倍或两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.证（1）设12,yy是非齐线性方程的两个不同的解，则应满足方程使1122()(1)()(2)dypyQxdxdypyQxdx（1）—（2）有1212()()dyypyydx说明非齐线性方程任意两个解的差12yy是对应的齐次线性方程的解.（2）因为(()())()()(()()()()dcyxyxdyxdyxcpcypyQxpcyyQxdxdxdx故结论成立.（3）因为12121212()()()(),(),()dyydyydcypcypyypyydxdxdx故结论成立.2.2．3、伯努利方程形如()()ndyPxyQxydx（2.38）的方程，称为伯努利方程，这里(),()PxQx为x连续函数，0,1n是常数利用变量变换可将伯努利方程化为线性微分方程来求解.事实上，对于0y，用ny乘（2.38）两边，得到1()()nndyyyPxQxdx（2.39）引入变量变换1nzy（2.40）从而(1)ndzdynydxdx（2.41）将（2.40）、2.41）代入（2.39），得到(1)()(1)()dznPxznQxdx（2.42）这是线性方程，用上面介绍的方法求得它的通解，然后再代回原来的变量，便得到（2.38）的通解.此外，当0n时，方程还有解0y.例2求方程331dydxxyxy的解解将方程改写为33dxyxyxdy这是一个自变量为y，因变量为x的伯努利方程.解法同上.§2.3恰当方程与积分因子2.3.1、恰当方程的定义将一阶微分方程(,)dyfxydx写成微分的形式(,)0fxydxdy把,xy平等看待，对称形式的一阶微分方程的一般式为(,)(,)0MxydxNxydy（2.43）假设(,),(,)MxyNxy在某区域G内是,xy的连续函数，而且具有连续的一阶偏导数.如果存在可微函数(,)uxy,使得(,)(,)(,)MxydxNxydyduxyuudxdyxx(2.44)即(,),(,)uuMxyNxyxy(2.45)则称方程(2.43)为恰当微分方程,或称全微分方程.2.3.2、恰当方程的判定准则设(,),(,)MxyNxy在某区域G内连续可微,则方程(2.43)是恰当方程的充要条件是,(,)MNxyGyx(2.46)而且当(2.46)成立时,相应的原函数可取为000(,)(,)(,)xyxyuxyMsydsNxtdt(2.47)或者也可取为000(,)(,)(,)yxyxuxyNxtdtMsyds(2.48)其中00(,)xyG是任意取定的一点.例1.解方程21()02xxydxdyy(2.49)解这里21,=()2xMxyNy,则yxMxN,所以(2.49)是恰当方程.因为N于0y处无意义,所以应分别在0y和0y区域上应用定理2.3,可按任意一条途径去求相应的原函数(,)uxy.先选取00(,)(0,1)xy,代入公式(2.47)有22011()ln22xyxxuxdxdyyyy再选取00(,)(0,1)xy,代入公式(2.47)有22011()()ln()22xyxxuxdxdyyyy可见不论0y和0y,都有2ln||2xuyy故方程的通解为2ln||2xyyC.2.3.3、恰当方程的解法上述定理已给出恰当方程的解法,下面给出恰当方程的另两种常用解法.解法1.已经验证方程为恰当方程,从(,)xuMxy出发,有(,)(,)()uxyMxydxy(2.50)其中()y为待定函数,再利用(,)yuNxy,有()(,)(,)udyMxydxNxyyydy由此()(,)(,)dyNxyMxydxdyy(2.51)对(2.51)进行积分可得()[(,)(,)]yNxyMxydxdyy(2.52)将(2.52)代入(2.50)，即可求得(,)(,)[(,)(,)]uxyMxydxNxyMxydxdyy(2.53)因此，恰当微分方程(2.43)的通解为(,)[(,)(,)]MxydxNxyMxydxdycy(2.54)这里c是任意的常数.解法2.分项组合的方法对(2.49)式重新组合变为21()02xxydxdydyy于是2()ln||02xdydy从而得到方程的通解为2ln||2xyyC2.3.4、积分因子的定义及判别对于微分形式的微分方程(,)(,)0MxydxNxydy（2.43）如果方程（2.43）不是恰当方程，而存在连续可微的函数(,)0xy，使得(,)(,)0MxydxNxydy(2.55)为一恰当方程，即存在函数(,)vxy，使(,)(,)MxydxNxydydv(2.56)则称(,)xy是方程（2.43）的积分因子.此时(,)vxyC是(2.56)的通解，因而也就是（2.43）的通解.如果函数(,),(,)MxyNxy和(,)xy都是连续可微的,则由恰当方程的判别准则知道,(,)xy为(2.43)积分因子的充要条件是()()MNyx即()MNNMxyyx(2.57)2.3.5、积分因子的求法方程(2.52)的非零解总是存在的，但这是一个以为未知函数的一阶线性偏微分方程，求解很困难，我们只求某些特殊情形的积分因子.对于方程（2.43），若存在只与x有关的积分因子()uux，则0dudy，此时方程(2.57)变成()MNNxyx即MNyxdxN(2.58)由此可知，方程（2.43）有只与x有关的积分因子的充要条件是：()MNyxxN（2.59）这里()x仅是x的函数，此外，如果（2.59）成立，则根据方程（2.58）可求得方程（2.43）的一个积分因子()xdxe（2.60）将其他情形归结如下：例2.解22(31)()0yxydxxyxdy解这里2231,MyxyNxyx,注意yxMNyx所以方程不是恰当的,但是1yxMNNx类型条件积分因子()x()yxMNfxN()fxdxe()y()yxMNfyM()fydye()xy111()yxMNfxyxNyMxy()|fuduuxye((,))xy((,))yxxyMNfx