2016广州大学研究生考试数分高代真题

广州大学2016年硕士研究生招生入学考试数学分析1.(14分)求limx!+1((x+2)ln(x+2)2(x+1)ln(x+1)+xlnx).2.(14分)讨论f(x)=xsinx在[0;+1)的一致连续性.3.(14分)若p1,求证limn!+1(1p+2p+


+npnp+11p+1)=0:4.(14分)若函数f(x)在区间[a;b]上满足次Lipschitz条件,即存在正常数M,对于任意的x;y2[a;b]有jf(x)f(y)jMjxyj,证明:当1时,f(x)为常值函数.5.(14分)讨论级数1∑n=1(1)n(sinn)2n的收敛性(若收敛,则需讨论绝对收敛性).6.(14分)证明:函数f(x)=8:xypx2+y2;x2+y2̸=0;0;x2+y2=0:在点(0;0)的领域中连续且有有界的一阶偏导数,但在此点不可微.7.(14分)讨论积分∫20dxjlnxjp的敛散性.8.(14分)计算积分∫AmB(x2yz)dx+(y2xz)dy+(z2xy)dz此积分路径是从点A(a;0;0)到点B(a;0;h)沿螺线x=acost;y=asint;z=h2t上取得.9.(14分)已知积分∫∫Scos(⃗r;⃗n)r2dS,其中S为包含体积V的简单封闭平滑曲面,⃗n为曲面S上在点(;;)处的外法线,⃗r为连接点(x;y;z)和点(;;)的向量,r=√(x)2+(y)2+(z)2.(1)当曲面S不包围点(x;y;z)时,计算积分;(2)当曲面S包围点(x;y;z)时,计算积分.110.(12分)定义在区间I的实值函数f(x)称为凸函数,如果对任意x;y2I;2[0;1],有f(x+(1)y)f(x)+(1)f(y),证明凸函数f(x)在区间I内连续.11.(12分)设函数f(x)在[a;b]上连续,g(x)是以T(T0)为周期的非负函数且在[0;T]上可积,证明:limn!1∫baf(x)g(nx)dx=1T∫T0g(x)dx
∫baf(x)dx:2广州大学2016年硕士研究生招生入学考试高等代数以下各题每题15分,共150分.1.设函数f(x)=x3+(1+t)x2+4x+2u与g(x)=x3+tx2+2u的一个最大公因式是一个二次多项式,求t;u的值以及f(x)与g(x)的最大公因式d(x),并且求u(x)和v(x)使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x).2.计算下列行列式的值.(1)xa1a2


an1ana1xa2


an1ana1a2x


an1an..................a1a2a3


xana1a2a3


anx;(2)530


00253


00025


00..................000


53000


25.3.假设A是mn矩阵,证明Ax=b有解的充分必要条件是向量b与ATx=0的解空间正交,其中AT表示矩阵A的转置矩阵.4.(1)证明:n阶反对称实矩阵的特征值都是纯虚数或零.(2)假设A=0BBBBB@a1a2...an1CCCCCA是n阶实对角形矩阵,其中ai0;i=1;2;


;n.B是n阶反对称实矩阵,证明:A+B的行列式大于0,即jA+Bj0.5.假设A是nn矩阵,A为A的伴随矩阵,证明:(1)r(A)=8:n;r(A)=n;1;r(A)=n1;0;r(A)n1:3(2)jAj=jAjn1.6.设1=0BBBB@13511CCCCA;2=0BBBB@12421CCCCA;3=0BBBB@11301CCCCA;4=0BBBB@01111CCCCA;5=0BBBB@13111CCCCA是R4中的5个向量,求向量组f1;2;3;4;5g的一个极大线性无关组,并将其余向量用该线性无关组线性表示.7.假设A与B都是数域F上的mn矩阵,证明:r(A+B)r(A)+r(B):8.已知3维线性空间V的一组基1;2;3,设1=1+3;2=1+2;3=12+3:(1)证明:1;2;3也是V的一组基;(2)求由基1;2;3到基1;2;3的过渡矩阵;(3)求向量=1+22+33在基1;2;3下的坐标.9.试证明平面上的二次函数f(x;y)=2x2+4xy+5y2+xy8524确定的曲线f(x;y)=0是椭圆,并求椭圆中心的坐标、长轴和短轴的长度.10.设1;2;3;4;5是5维欧式空间V的一组标准正交基,V1=L(1;2;3),其中1=1+5;2=12+4;3=21+2+3:求V1的维数dimV1,并用施密特正交化方法求V1的一个标准正交基.4