线性代数练习册CH2

《线性代数》练习册第二章矩阵§2.1矩阵的概念、§2.2矩阵的运算1.设矩阵231231A,123210B．计算矩阵,ABBA,并比较二者是否相等.2.举例说明下列命题不正确：（１）ABAC，则BC；（２）2AE，则AE或AE.3.设矩阵110011001A，计算nA,其中n为正整数．4.设A为n阶矩阵，n为奇数，且满足TAAE，1A．求AE．5.设1,2,3，1,1/2,1/3,TA,求nA.6.设n维行向量11,0,,0,22，矩阵,2TTAECE，其中E是n阶单位阵，求AC．7.设A是n阶实矩阵．证明:如果TAAO，则AO．8.对于任意的n阶矩阵A，称其主对角线上n个元素之和为A的迹，用()trA表示，即1()niiitrAa.证明：对n阶矩阵,AB，有()()trABtrBA.§2.3几种特殊结构的矩阵1.设矩阵12naaAa，其中12,,,naaa两两不同．证明：与A可交换的矩阵必是对角阵．2.设矩阵A与任意n阶方阵可交换，求A．3.设A,B是n阶反对称矩阵,证明：(1)2A是对称矩阵；(2)ABBA是反对称矩阵．4.设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵．证明：AB是反对称矩阵的充分必要条件是ABBA．§2.4方阵的逆矩阵1.设A为n阶矩阵，且232AAEO，其中E为n阶单位矩阵．证明：A可逆，并求1A．2.设A为n阶非零实矩阵，*TAA．证明：A是可逆矩阵．3.设A是n阶矩阵，证明：1*nAA．4.判断下列矩阵是否可逆,如果可逆,求其逆矩阵．（1）100120123（2）1431202235.设矩阵100130225012A，试求1*TA．§2.5分块矩阵1.设矩阵3411431100200022A，利用分块矩阵求8A．2.已知1110012100113000004000002A，求1.A3.设四阶矩阵A=234,,,，234,,,B，其中234,,,,均为四维列向量，且已知行列式4,1.AB求AB．4.设000000100010aaAbb,100010000000ccBdd,用矩阵的分块乘法求AB.5.设A,B是n阶矩阵．证明：+ABABABBA．6.设A,B分别是m阶，n阶可逆矩阵，C为nm矩阵．证明：分块矩阵OACB可逆，并求1OACB．§2.6矩阵的初等变换与初等矩阵1.设A为n阶可逆矩阵，B是A交换第i行和第j行所得的矩阵．（1）证明：B是可逆矩阵．（2）求1AB．2.设A，B为三阶矩阵，将A的第1行的（-2）倍加到第3行得到1A，将B的第1列乘以(-2)得到1B，已知11031257486AB，求AB．3.设矩阵122221425A，101021000B，问是否存在可逆阵P，使得PAB？若存在，试求P．4.用初等变换法求下列矩阵的逆矩阵．（1）A=111011001（2）A=1112101105.已知三阶矩阵A的逆矩阵1111121113A，试求其伴随矩阵*A的逆矩阵．6.解下列矩阵方程：35412(1)12301X．211113(1)210432111X7.设1111111111111111A.(1)求2A．(2)证明2AE可逆，并求1(2)AE.8.设矩阵A=111111111，已知*12AXAX，试求矩阵X．9.已知n阶矩阵A=100110111，求A中所有元素代数余子式的和.§2.7矩阵的秩1．已知矩阵33021430.1562A（1）计算A的所有三阶子式；（2）利用（1）的结果求矩阵A的秩.2．把矩阵11210224203061103001化为阶梯形,并求其秩.3．讨论参数的取值，确定下列矩阵A的秩:（1）11121123224A.（2）31144101171732243A．4.设B是一个rr矩阵，C是一个rn矩阵，且()rCr．证明：（1）如果BCO，那么BO；（2）如果BCC，那么BE．第二章综合练习题A一、填空题1．设A为n阶方阵，B满足关系式1()2ABE，且2AA，则2B________.2．设A为n阶方阵，且mAE，其中m为正整数．若将A的2nn2个元素用其代数余子式ijA代替，得到的矩阵记为B，则mB=_________.3．设A，B均为n阶矩阵，=2=3AB，,则*12AB=____________.4．设矩阵A，B满足*28ABABAE，其中A=100020001，则B=_________.5．已知A=111102110210，B为4阶方阵,且0B，则()rAB________.二、选择题1．设三阶矩阵23,2,3TA，23,,2TB，其中23,,,均为三维行向量，已知18A，2B，则AB（）（A）1.(B)2.(C)3.(D)4.2．若abbAbabbba，若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有（）．（A）20abab或（B）20abab或（C）20abab且.（D）20abab且3．若A为n阶可逆矩阵，则下列结论不正确的是（）．（A）11()=()kkAA（B）()=()TkkTAA（C）**()=()kkAA（D）**()=kAkA.4．设A，B为n阶矩阵，*A，*B是其伴随矩阵，AOCOB，则*C（）．（A）**OOAABB（B）**OOBBAA（C）**OOBAAB（D）**OOABBA三、计算题1．设n阶方阵A=010000200001000nn（1）求1A.（2）求A的第i行的代数余子式之和12iiinAAA.2．设A，B为三阶矩阵，将A第1行的（-3）倍加到第3行得到1A，将B的第1列乘以（-3）得到1B，再将1B的第2列加到第1列得到2B，已知12012101243AB求AB．四、证明题1．设,AB均为n阶方阵，且0B，1()=()TAEBE，证明：0A.2.设,AB及11AB均为n阶可逆矩阵，证明AB可逆，且111111()()ABAAABA.第二章综合练习题B一、填空题1．已知当A=13223122时，6AE，则11A__________.2．设,,ABC均为n阶方阵，且ABBCCAE，则222ABC_______.3．设1A存在，且2AAE，则1*()A____________.4．设,AB均为n阶方阵，且2,3AB，则*1AB____________.二、判断说明题1．设n（n2）阶实矩阵()ijnnAaO,且ijijaA(,1,2,,)ijn,其中ijA是元素ija的代数余子式．则有TAAE．2．设A为n（n1）阶可逆矩阵，*A是A的伴随矩阵．则*n-2*=AAA.3．设A为n（n1）阶方阵，*A是A的伴随矩阵．则*0A的充分必要条件是0A4．设A为n（n1）阶方阵，则()1rA的充分必要条件是TA，其中12(,,,)Tnaaa，12(,,,)Tnbbb，这里ijab不全为零(,1,2,,)ijn．三、计算题1．已知三阶矩阵A的逆矩阵为1111121113A，求伴随矩阵*A的逆矩阵.2．设矩阵A的伴随矩阵*1000010010100308A，且113ABABAE．求矩阵B．四、证明题1．设A为n阶非奇异矩阵，为n维列向量，b为常数．记分块矩阵*TEOPAA，TAQb（1）计算并化简PQ；（2）证明：Q可逆的充分必要条件是1TAb．2．设n阶矩阵TAE，其中是n维非零列向量．证明：（1）2AA的充要条件是T=1.（2）当T=1时，A是不可逆矩阵.