空间向量数量积运算

导入新课复习如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F所作的功,为了在数学中体现“功”的这样一个标量,我们引入了“数量积”的概念.W=FS=|F||S|cosθSFθ1.平面向量数量积的定义已知两个非零向量,则叫做的数量积，记作,即a,babcosθa,b·abab=abcosθOABabab向量的夹角：0θπBbAOBababab4．平面向量的夹角：复习：2.平面向量的数量积的主要性质设a，b是两个非零向量（1）a⊥ba×b=0数量积为零是判定两非零向量垂直的充要条件;（2）当a与b同向时,a·b=|a|·|b|;当a与b反向时,a·b=-|a|·|b|;特别地，用于计算向量的模;（3）用于计算向量的夹角.2aa=aa=aa或abcosθ=ab3.平面向量数量积满足的运算律（1）交换律:（2）对数乘的结合律:（3）分配律:··ab=ba···(λa)b=λ(ab)=a(λb)···(a+b)c=ac+bc····(ab)ca(bc)数量积不满足结合律,即:知识要点1.两个向量的夹角的定义如图，已知两个非零向量a，b.在空间任取一点O，可以作OA=a，OB=b，则角∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作:〈a，b〉OABaabb1）空间两个向量的夹角的定义思考：1、〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？2、〈a，b〉与〈a，－b〉相等吗？注意：〈a，b〉＝〈b，a〉，〈a，－b〉＝π－〈a，b〉3.1.3空间向量的数量积运算2）两个向量的数量积注：①两个向量的数量积是数量，而不是向量.,cos,,,cos,abababababababab已知空间两个向量，则叫做向量的数量积，记作：即③数量积的几何意义：||cos,aababab的模||与在上投影的乘积②零向量与任意向量的数量积等于零。3)空间向量的数量积性质:对于非零向量，有：,ab2(1)cos,(2)0(3)abababababaaa（求角的依据）（证明垂直的依据）（求向量的长度的依据)4)空间向量的数量积满足的运算律1)()()()2)(3()(abababbaabcabac结合律交换律））分配律）下列命题成立吗?①若,则②若,则③abacbckababk()()abcabc思考:1.向量a、b之间的夹角为30°，且|a|＝3，|b|＝4，则a·b＝__________，a2＝__________，(a＋2b)·(a－b)＝__________.[解析]a·ba2＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×4×cos30°＝63；(a＋2b)·(a－b)＝＝|a|2＝9a2＋a·b－2b2＝9＋63－32＝63－23.2.222,,22abab已知,则ab与的夹角大小为_____.135范围:0≤〈a，b〉≤π在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且〈a，b〉=〈b，a〉.如果〈a，b〉=π/2，则称a与b互相垂直，并记作a⊥b.题型一利用数量积求夹角如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．【例1】[思路探索]可先求向量OA→与BC→的夹角，再根据异面直线的夹角与向量的夹角之间的关系得出最后结果．2.空间向量数量积的定义设OA=a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作:|a|已知空间两个非零向量，则叫做的数量积，记作,即a,babcosa,ba,b·ab·ab=abcosa,b0a,bπ（）（1）两个向量的数量积是数量，而不是向量.（2）规定:零向量与任意向量的数量积等于零.（3）、、.abab仍是的模若m、n是平面α内的两条相交直线，且l⊥m，l⊥n.则l⊥α.glmn4.线面垂直的判定定理（必修2）：高考链接1.（2006年四川卷）如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是______.·1213PPPPA.B.·1214PPPPC.D.·1215PPPP·1216PPPPA解析：如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，设边长则∠P2P1P3=π/6,12|PP|=a，13|PP|=3a··2121333aPP,PP=a3a=22，214πPPP=214|PP|=2a··，212141PP,PP=a2a=a2，12151216PP,PP=0PP,PP0∴数量积中最大的是1213PP,PP（1）已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，|a-b|=3，则|a+b|=_________.课堂练习1.填空1方法一:发现|a+b|2+|a–b|2=2(|a|2+|b|2)带入求得.有其他方法吗？方法二:由|a–b|2=|a|2-2a·b+|b|2带入求得a·b=-2.∴|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2得|a+b|=1方法三:数形结合法，发现形的特殊性.（2）已知则a，b所成的夹角为_______.2ba,22b,22a分析:根据两向量夹角公式·ab=abcosa,b0a,bπ（）可得到所求结果.1352.选择设a，b，c是任意的非零空间向量，且相互不共线，则：①(a·b)c-(c·a)b=0②|a|-|b||a-b|③(b·c)a-(c·a)b不与c垂直④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2中，真命题是（）A.①②B.②③C.③④D.②④D