高中数学必修4-1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象

1.5函数y=Asin(x+)的图象2.、、A是影响函数图象形态的重要参数，对此，我们分别进行探究.1.正弦函数y=sinx是最基本、最简单的三角函数，在物理中，简谐运动中的单摆对平衡位置的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如的函数.我们需要了解它与函数y=sinx的内在联系.)sin(xAy例1：在同一坐标系，作函数y=2sinx和y=sinx的图象，并指出它们的图象与y=sinx的关系211、函数y=Asinx与y=sinx的图象的联系xxsin2xsin21xsin1000100221000221002322解:列表：xyO21221y=2sinxy=sinxy=sinx21描点、作图：xyO21221y=2sinx的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍。y=sinx的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍。2121比较这两个函数与函数y=sinx的图象的形状和位置，你有什么发现？函数y=Asinx(A0且A≠1)的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长(当A1时)或缩短(当0A1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的。y=Asinx，x∈R的值域为[-A,A]，最大值为A，最小值为-A.这种变换称为振幅变换。例2：在同一坐标系内，作函数y=sin2x和y=sinx图象，并指出它们的图象与y=sinx的关系。解：212.函数y=sinωx与y=sinx的图象的联系xy21sin对于函数x0234x2102232x21sin010－101.列表：xyO211342.描点：1.列表：xx2x2sin424302322100010xOy2122132.描点：对于函数y=x2sinxyO21134y=sinx的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）。y=sin2x的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）。2121比较这两个函数与函数y=sinx的图象的形状和位置，你有什么发现？函数y=sinx(0且≠1)的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短(当1时)或伸长(当01时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的。这种变换称为周期变换1例3：在同一坐标系内，作函数和图象，并指出它们的图象与y=sinx的关系。解：)3sin(xy)4sin(xy3.函数y=sin(x+φ)与y=sinx的图象的联系x230223x6561133734)3sin(x010-10yxO2113x230224x44544743)4sin(x010-104xO21134xO21134函数y=sin(x+φ)图象的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左（当＞0时）或向右（当＜0时）平行移动||个单位长度而得到.这种变换称为平移变换。)sin(xyxysinxysin（振幅变换）xAysin周期变换）(sinxy横坐标伸长为原来的倍平移变换）()sin(xy1倍A的来原为长伸标坐纵向右（0)或向左（0)平移||我们学习了三种函数y＝sin(x±)，y＝sin(x)，y＝Asinx的图象和函数y＝sinx图象的关系，那么y＝Asin(x+)(A＞0，＞0)的图象和函数y＝sinx的图象有何关系呢？思考：例4.画出函数y=3sin(2x+π/3),x∈R的简图解:列表x6123127652x+302π232π3sin(2x+3)030-30xy306121273654、y＝Asin(x+)(A＞0，＞0)的图象和函数y＝sinx的图象关系对y=sinx的图象经过怎样的移动可以得到上题中数图象？例4.画出函数y=3sin(2x+π/3)的简图351xy30263212解:y=sinx)3sin(xy个单位各点向左平移321)(横坐标缩短到原来的纵坐标不变各点)32sin(xy倍纵坐标伸长到原来的横坐标不变各点3)()32sin(3xy65一般地，函数（A＞0，0）的图象，可以由函数的图象经过怎样的变换而得到？)sin(xAyxysin先把函数的图象向左（右）平移||个单位长度，得到函数的图象；再把曲线上各点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象；然后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，就得到函数的图象.xysin)sin(xy1)sin(xy)sin(xAy上面我们学习了函数y＝Asin(x+)的图象可由y＝sinx图象平移变换→周期变换→振幅变换的顺序而得到，若按下列顺序可以得到y＝Asin(x+)的图象吗？⑴周期变换→平移变换→振幅变换⑵振幅变换→平移变换→周期变换⑶平移变换→振幅变换→周期变换y=sinx12721)(横坐标缩短到原来的纵坐标不变各点)32sin(xyxy2sin个单位各点向左平移6x31026212y倍纵坐标伸长到原来的横坐标不变各点3)()32sin(3xy65函数y=Asin(ωx+φ),x∈R的图象可由y=sinx经过如下变换得到:y=sinxy=sin(x+φ)y=sin(ωx+φ)y=Asin(ωx+φ)伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍(横坐标不变)各点纵坐标各点沿x轴平移(φ0左移,φ0右移)个单位各点横坐标伸长(0ω1)或缩短(ω1)到原来的倍(纵标坐标不变)1y=sinx或:y=sinωxy=sin(ωx+φ)y=Asin(ωx+φ)各点横坐标伸长(0ω1)或缩短(ω1)到原来的倍(纵标坐标不变)1右移)个单位各点沿x轴平移(φ0左移,φ0各点纵坐标伸长(A1或缩短(0A1)到原来的A倍(横坐标不变)sinyxsin()6yx2sin()36xy6将图像向右平移个单位sin()36xy2将纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变12sin()36yx例1、画出函数的图像3将横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变sinyx2sinyx2sin()36xy2将图像向右平移个单位倍，纵坐标不变将横坐标伸长到原来的32sin3xy2将纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变12sin()36yx例1、画出函数的图像练习：1.要得到y=3sin(x/2+π/6),的图象只要将y=sinx作怎样的平移?2.将y=2sin2x的图象作怎样的变换可得到y=2sin(2x-π/4),的图象?解:向右平移个单位8解:y=sinxy=sin(x-π/6)y=sin(1/2x-π/6)y=3sin(1/2x-π/6)个单位向右平移6倍横坐标伸长为原来的2倍纵坐标伸长为原来的33.将y=3sin(3x+π/4)的图象向__右_____平移______个单位便可得到y=2sin3x的图象.124.已知函数y=2sin(2x+π/3)的图象每点的纵坐标伸长到原来的2倍后,再将每点向左平移个单位,然后再将所得图象上每一点的横坐标伸长到原来的3倍,求所得图象的解析式.6解:y=sin(2x+π/3)y=6sin(2x+π/3)y=6sin[2(x+π/6)+π/3]=6sin(2x+2π/3)y=6sin[2(x/3)+2π/3]=6sin(2x/3+2π/3)