平板层流边界层的近似计算

§8-4平板层流边界层的近似计算作为应用边界层的积分关系式来决实际问题的例子，下面我们来研究不可压粘性流体定常流流经平板的问题。如图所示：设x轴沿着平板，y轴为平板法线方向。坐标原点在平板前缘点上，来流的沿x轴，板长为l。假定来流流经平板时，平板上下两层形成层流边界层，如图所示。现在要求的是边界的厚度的变化规律和摩擦阻力FD。由于顺来流方向放置的平板很薄，可以认为不引起流动的改变。所以，在边界层外边界上，，由势流的伯努利方程：两边对x求导，则：即：p=常数，即边界层外边界上压力为常数。而边界层内，。所以整个边界层内向点压力相同。即整个流场压力处处相等。代入上式则变成：(1)(1)式中有三个未知数u，，，所以再补充两个方程。①当x固定时，假设边界层内速度u的分布为：(2)可以看出层内随y↑—u↑，这和实际情况是符合的。边界条件：1)壁面外，y=0，u=0；2)边界层外边界处，y=，u=V；3)边界层外边界处，y=，；4)边界层外边界处，由于u=V，由层流边界层微分方程(即普朗特边界层方程),在边界层的外边界上：5)在平板壁面处，y=0，u=υ=0，又由上式(普朗特边界层方程)，得：；把边界条件代入(2)式，得：再把上面的五个系数代入(2)式，得第一个补充关系式，即层流边界层中的速度分布规律为：再对上式求导，并利用牛顿内摩擦定律，得：(3)再将上式代入(1)式求积分，则得到：(4)(5)将(3)，(4)，(5)代入(1)式，得：，积分得：确定积分常数C，x=0，=0，C=0，于是得：，它的精确解为，并且的表达式为的三次方时，得出的解比四次方精确。其系数为4.64。因此，不能认为选择速度分布时，多项式数越多越好。由上式可看出：x—；V—。将表达式，代入(c)式，得切向应力：从上式可以看出：沿平板长度方向(x方向)，越来越小，这是因随x，速度边界层越来越厚，边界层内速度变化渐趋缓和之故。总摩擦阻力为：其中b为板宽，且FD为平板一面的摩擦阻力，一块板两面的摩擦阻力为2FD。摩擦阻力系数为：。其中Cf为无量纲数