等比数列的概念与通项公式课件

第二章数列2．4等比数列第二章第二章第1课时等比数列的概念与通项公式课前自主预习思路方法技巧名师辨误作答课后强化作业课堂巩固训练课程目标解读1．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，会用公式解决一些简单问题，体会等比数列与指数函数的关系．2．进一步体会归纳法思想．课前自主预习1．等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母q表示(q≠0)．即：anan－1＝q(n≥2，q≠0，n∈N*)．若公比q＝1，则这个数列为常数列，等比数列公比2．如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．如果G是a、b的等比中项，则G＝.容易看出，一个等比数列从第2项起，每一项(有穷等比数列的末项除外)是它的前一项与后一项的等比中项．3．等比数列的通项公式：an＝±aba1qn－1(a1，q均不为0)．重点难点展示重点：等比数列的定义和通项公式的应用．难点：1.等比数列通项公式的推导和类比思想方法运用．2．等比数列与指数函数的关系．学习要点点拨1．通过具体实例，观察、归纳、并类比等差数列定义得出等比数列定义，定义式an＋1an＝q(n∈N*)．因为q≠0，故等比数列{an}中每一项均不为零．2．在定义式中，依次令n＝1,2,3……得到a2a1＝q，a3a2＝q，a4a3＝q，……anan－1＝q，将这些式子相乘得到ana1＝qn－1，∴an＝a1qn－1，这种导出通项公式的方法称作累乘法，应注意体会运用．另外类比等差数列通项公式推导方法，可由an＋1＝anq，依次取n＝1,2，……迭代得出通项公式．3．等比数列的判断主要用定义式，有时也用其变式a2n＝an－1·an＋1(n≥2)．4．等比数列的增减性．a10q1或a100q1时{an}为递增数列；a10q1或a100q1时{an}为递减数列；q＝1时为常数列；q0时为摆动数列．5．①在等差数列中，等差中项唯一，在等比数列中，等比中项是互为相反数的两个值，即G＝±ab，这一点同学们务必要记熟，再就是任意两个实数都有一个等差中项存在，但任意两个实数间未必存在等比中项，如0和任一实数，或一正数一负数间都不存在等比中项．只有同号的两个数才存在等比中项．②在等比数列中，an是an－k和an＋k的等比中项(nk)．即a2n＝an－k·an＋k，特别地a2n＝an－1·an＋1(n≥2)．6．若{an}是等差数列，bn＝ban，则{bn}为等比数列，反之若{an}为等比数列(an0)，bn＝lgan，则{bn}为等差数列．7．若有三个数成等比数列：可设为a1，a1q，a1q2，或设为a1q，a1，a1q.8．在通项公式中的四个量an，a1，n，q中，已知任意三个可求第四个量．思路方法技巧命题方向等比数列通项公式[例1]已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.[分析](1)在等比数列的通项公式中含有两个待定系数a1和q，故需建立a1与q的两个方程，组成方程组求解，因此只需将已知条件改写成a1与q的关系式即可．(2)由等比中项的定义知，a2是a1与a3的等比中项，故可先由a1a2a3＝8求得a2，再解关于a1与a3的方程组，即可获解．[解析]解法1：由等比数列的定义知a2＝a1q，a3＝a1q2，代入已知得，a1＋a1q＋a1q2＝7a1·a1q·a1q2＝8，⇒a11＋q＋q2＝7，a31q3＝8⇒a11＋q＋q2＝7①a1q＝2②由②得a1＝2q，代入①得2q2－5q＋2＝0，∴q＝2，或q＝12.当q＝2时，a1＝1，an＝2n－1；当q＝12是，a1＝4，an＝23－n.解法2：∵a1a3＝a22，∴a1a2a3＝a32＝8，∴a2＝2.从而a1＋a3＝5a1a3＝4，解之得a1＝1，a3＝4，或a1＝4，a3＝1，当a1＝1时，q＝2；当a1＝4时，q＝12.故an＝2n－1，或an＝23－n.解法3：由等比数列的定义可知a1＝a2q，a3＝a2q，代入a1a2a3＝8，得a2＝2，∴a1＝2q，a3＝2q，代入a1＋a2＋a3＝7，得2q＋q＋2q＝7，可解得q＝2，或q＝12.以下同解法1.[点评]解答中易产生的错误是先求得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1后，由a3＝a1q2得出q＝±2或q＝±12，故求得an＝2n－1或an＝(－2)n－1或an＝23－n或an＝(－2)3－n.上述错误的原因在于忽视了由于a2＝2，a10必有q0这一隐含条件的限制．(2011·浙江杭州一模)已知等比数列前3项为12，－14，18，则其第8项是________．[答案]－1256[解析]∵a1＝12，a2＝a1q＝12q＝－14，∴q＝－12，∴a8＝a1q7＝12×(－12)7＝－1256.命题方向等比中项[例2](2011·醴陵二中、四中高二期中联考)已知{an}是等比数列，且an0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5＝()A．5B．10C．15D．20[答案]A[分析]∵{an}是等比数列，∴a3是a2与a4的等比中项，a5是a4与a6的等比中项，因此条件式可以转化为a3与a5的关系式．[解析]a4a6＝a25，a2a4＝a23，∴(a3＋a5)2＝a23＋2a3a5＋a25，＝a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，∴a3＋a5＝±5.∵an0，∴a3＋a5＝5.(2009·四川)等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的前10项之和是()A．90B．100C．145D．190[答案]B[解析]设公差为d，由题意得a22＝a1·a5，∵a1＝1，∴(1＋d)2＝1＋4d，∴d2－2d＝0，∵d≠0，∴d＝2，∴S10＝10×1＋10×92×2＝100，故选B.命题方向an与Sn的关系及等比数列的判断[例3]已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn(p∈R，n∈N*)，那么数列{an}()A．是等比数列B．当p≠0时是等比数列C．当p≠0，p≠1时是等比数列D．不是等比数列[答案]D[解析]利用等比数列的概念判断．由Sn＝pn(n∈N*)，有a1＝S1＝p，并且当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－pn－1＝(p－1)pn－1.故a2＝(p－1)p，因此数列{an}成等比数列⇔p≠0，p－1≠0，anan－1＝pn≥2.而a2a1＝p－1pp＝p－1.故满足此条件的实数p是不存在的，故本题应选D.[点评](1)此题易得出错误的判断，排除错误的办法是熟悉数列{an}成等比数列的条件：an≠0(n∈N*)，还要注意对任意n∈N*，n≥2，anan－1都为同一常数．(2)判断{an}是否为等比数列，由Sn＝pn知当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－pn－1＝(p－1)·pn－1，乍看只要p≠0，p－1≠0就是等比数列，其实不然，因为a1＝S1＝p，并不满足an；故无论p取何实数{an}都不可能是等比数列．已知数列{an}满足：lgan＝3n＋5，试用定义证明{an}是等比数列．[证明]由lgan＝3n＋5，得an＝103n＋5，则an＋1an＝103n＋1＋5103n＋5＝1000，∴数列{an}是公比为1000的等比数列．合作探究设数列{an}的前n项和为Sn，且an≠0，Sn＋1＋Sn＝kan＋1(|k|1)，问数列{an}是否为等比数列？并说明理由．[解析]∵Sn＋1＋Sn＝kan＋1，又Sn＋1－Sn＝an＋1，∴2Sn＋1＝(k＋1)an＋1，则2Sn＝(k＋1)an(n≥2)．以上两式相减得2an＋1＝(k＋1)an＋1－(k＋1)an(n≥2)．(k－1)an＋1＝(k＋1)an(n≥2)．∴an＋1an＝k＋1k－1(n≥2)．又S1＋S2＝ka2，∴2a1＋a2＝ka2.∴a2a1＝2k－1.若{an}为等比数列，则k＋1k－1＝2k－1，∴k＝1.这与|k|1矛盾，∴{an}不是等比数列．建模应用引路[例4]培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒(保留两个有效数字)?[解析]由于每代的种子数是它的前一代种子数的120倍，逐代的种子数组成等比数列，记为{an}，其中a1＝120，q＝120，因此，a5＝120×1204≈2.5×1010.答：到第五代大约可以得到种子2.5×1010粒．一个工厂今年生产某种机器1080台，计划到后年把产量提高到每年生产机器1920台．如果每一年比上一年增长的百分率相同，这个百分率是多少(精确到1%)?[解析]设这个百分率为x，据题意：1080(1＋x)2＝1920，∴(1＋x)2≈1.77778，∴x≈0.33＝33%.答：这个百分率是33%.探索延拓创新命题方向构造法解题[例5]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*)(1)求证{bn}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．[分析](1)欲证{bn}是等比数列，须证bn＋1bn为常数，又bn＝an＋1，∴bn＋1＝an＋1＋1，故只须将条件式变换为an＋1＋1与an＋1的关系式即可获证．(2)只要求出了{bn}的通项公式，就可以求出{an}的通项公式．[解析](1)∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)即bn＋1＝2bn，∵b1＝a1＋1＝2≠0.∴bn≠0，∴bn＋1bn＝2，∴{bn}是等比数列．(2)由(1)知{bn}是首项b1＝2公比为2的等比数列，∴bn＝2×2n－1＝2n即an＋1＝2n，∴an＝2n－1.在数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝2anan＋1，证明数列{1an－1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式．[解析]由a1＝2，an＋1＝2anan＋1可知，对n∈N*，an≠0.由an＋1＝2anan＋1两边取倒数得，1an＋1＝12＋12an.即1an＋1－1＝121an－1，∵a1＝2，∴1a1－1＝－12.∴数列{1an－1}是首项为－12，公比为12的等比数列．∴1an－1＝－1212n－1＝－12n.∴an＝2n2n－1.合作探究已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝12.(1)求证：1Sn是等差数列；(2)求an的表达式．[分析](1)由an与Sn的关系an＝Sn－Sn－1消去an，构造1Sn－1Sn－1，证明其为常数．(2)由(1)可求1Sn，进而求出Sn，再求an.[解析](1)证明：∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，又an＝－2Sn·Sn－1，∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0.∴1Sn－1Sn－1＝2(n≥2)．由等差数列的定义知1Sn是以1S1＝1a1＝2为首项，以2为公差的等差数列．(2)由(1)知1Sn＝2＋(n－1)×2＝2n，∴Sn＝12n.当n≥2时，有an＝－2Sn·Sn－1＝－12nn－1，又∵a1＝12，∴an＝12n＝1－12nn－1n≥2.命题方向等差、等比数列的综合应用及方程的思想[例6]三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1、3、9，就成为等比数列，求此三个数．[分析]因为所求三数成等差数列，故可设这三数为a－d、a、a＋d，再根据已知条件寻找关于a、d的两个方程，通过解方程组即可获解．[解析]设所求之数为a－d、a、d＋d，则由题设得a－d＋a＋a＋d＝15，a＋32＝a－d＋1a＋d＋9.解此方程组得，a＝5，d＝2.∴所求三数为3,5,7.有四个数