导数基本问题复习专题

高考培优增分课题研究高考复习专题篇高考数学复习专题导数概念-几何意义导数运算P0概要∣知识构架导数的概念基本初等函数的导数公式导数函数的单调性、极值与最值问题的的的函数的零点问题导数的定义导数的物理及几何意义-曲线切线问题导数的运算导数的四则运算法则及复合函数的导数导数的应用函数不等式问题计算定积分定积分与微积分的基本定理定积分的应用含参数问题、存在性或唯一性、最优化等问题知识建构概念-意义-运算Ⅰ.导数基本概念Ⅱ.导数的几何意义Ⅲ.导数的运算法则与求导公式Ⅳ.导数运算与应用Ⅴ.曲线切线理论及问题应用P1导数基本问题P2知识建构一导数概念-定义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数设函数y＝f(x)在包含x0的某个区间上有定义，且存在极限值：xxfxxfx)()(000lim；则称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率：limΔx→0ΔyΔx＝xxfxxfx)()(000lim为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或0|xxy，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝xxfxxfx)()(000lim.P3知识建构一导数概念-定义函数f(x)的导函数函数f(x)在定义区间上的任一点x处的瞬时变化率：limΔx→0fx＋Δx－fxΔx称为函数f(x)的导函数，记为：f′(x)，即导函数f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx.函数f(x)称为原函数P4limΔx→0fx＋Δx－fxΔx基本初等函数的导数知识建构二求导公式几个特殊幂函数的求导公式(1)1)(x；(2)xx2)(2；(3)21)1(xx；（4）xx21)(P5知识建构三导数的运算法则导数运算法则(1))(])([xfcxcf；(2))()(])()([xgxfxgxf；(3))()()()(])()([xgxfxgxfxgxf；(4)2)]([)()()()(])()([xgxgxfxgxfxgxf(g(x)≠0)．(5)2)]([)(])(1[xgxgxg(g(x)≠0)．P6知识建构三导数的运算法则复合函数的导数复合函数y＝f(u(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝u(x)的导数间关系为：)()())((xuufxufxux或xuxuyy；即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.【注】复合函数求导原则：①复合函数确定且分解正确；②分步求导且将求导进行到底！P7函数f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线为l，则直线l的斜率为：k=f′(x0)．切线l的方程为：．特别地，如果曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线垂直于x轴，则此时导数f′(x0)不存在，切线方程为x＝x0.知识建构四导数的几何意义y－y0＝f′(x0)(x－x0)P8导数的物理意义：导数的物理意义：若物体运动方程是s=s(t)（物体运动路程关于时间的函数），函数s=s(t)在点P(t0，s(t0))处的导数为运动物体在t=t0处的瞬时速度;即：v(t0)=s′(t0)；而运动物体在t=t0处的瞬时加速度则为：a(t0)=v′(t0).知识建构四导数的物理意义P9导数基本问题导数概念【例1】设函数)(xf在0x处可导，则xxfxxfx)()(000lim等于A．)(0xfB．)(0xfC．)(0xfD．)(0xf[解析]由导数定义：xxfxxfx)()(000lim)()()()]([0000limxfxxfxxfx;故选B.P10【例2】已知函数()fx满足满足2121)0()1()(xxfefxfx；求)(xf的解析式.【解析】（1）因为：2121)0()1()(xxfefxfx...(1)，所以：xfefxfx)0()1()(1...(2)，在（1）、（2）式中分别令1,0xx可得：1)0()1()1()1()0(1fffeff解得：eff)1(1)0(所以：221)(xxexfx导数基本问题导数、原函数与方程P11导数基本问题导数几何意义P12问题探究一导数的运算-求导公式应用P13P14方法归纳求导数运算方法归纳求导数运算的方法归纳(1)乘积形式：积化为和差的形式，再求导．(2)分式形式：可先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导，注意变量的取值变化.(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：运用三角恒等变换适当变形，再行求导．(6)复合函数：确定复合关系，正确分解，分步逐层求导．P15问题探究二导数的运算与应用含参数导数运算问题【例1】已知函数f(x)＝x(a＋lnx)，f′(x0)＝a+1，则x0＝()A．e2B．1C．ln2D．e[解析]由f(x)＝x(a＋lnx)，f′(x)＝a＋lnx+1，又f′(x0)＝a+1＝a＋lnx0+1，所以x0＝1；故选BP16问题探究二导数的运算与应用含参数导数运算问题【例2】已知f(x)＝12x2＋2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝________；f(1)＝________.[解析]由f(x)＝12x2＋2xf′(1)＋lnx，则f′(x)＝x＋2f′(1)＋x1，f′(1)＝-2；f(1)＝27.P17问题探究二导数的运算与应用含参数导数运算问题【例3】已知函数f(x)＝xsinx＋ax，且1)2(f，则a＝()A．0B．1C．2D．4[解析]由f(x)＝xsinx＋ax，axxxxfcossin)(，又1)2(f，则a＝0；故选A．P18问题探究二导数的运算与应用含参数导数运算问题【例4】在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)的值为________．解析：因为f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8.又数列{an}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝4096.P19导数基本问题与应用巩固训练P204.已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a0且a≠1，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)＝3，则a的值为________．导数基本问题与应用巩固训练5.求下列函数的导数．(1)y＝x2sinx；(2)y＝lnx＋1x；(3)y＝cosxex；(4))22cos()22sin(xxxy.导数几何意义曲线切线问题1.求曲线的切线2.含参数曲线切线问题3.切线应用问题P21P22知识建构导数与曲线切线函数曲线的切线理论与问题：函数y=f(x)的图象为曲线C，点P（x0，y0）为曲线C上一点，函数在点C处可导且导数为f′(x0)，曲线C在点P（x0，y0）处的切线为l；则：①点P在曲线C上y0=f(x0)；②点P在切线l上y-y0=k(x-x0)；③直线l的斜率为：k=f′(x0)．．特别地，如果曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的导数f′(x0)不存在，则切线垂直于x轴，此时切线方程为x＝x0.P23问题建构曲线切线问题类型Ⅰ：求曲线C在其上点P（x0，y0）处的切线（已知切点，切线唯一）；则：①点P在曲线C上y0=f(x0)；②曲线在切点处的导数值为切线斜率，即k=f′(x0)；直线l的方程为：y-y0=k(x-x0).注1.求曲线C在其上点P（x0，y0）处的切线；意指切线与曲线相切的切点为点P，曲线C在点P处的切线唯一。P24问题建构曲线切线问题类型Ⅱ：求曲线C过其上一点P（x0，y0）处的切线l（P或为切点，或不为切点，且切线可能不唯一）；设切线l与曲线C相切的切点为Q（x1，y1）；则：①切点Q（x1，y1）在曲线上y1=f(x1)；②切线过两点P，Q：y1-y0=k(x1-x0).；③曲线在切点Q（x1，y1）处的导数值为切线斜率，即k=f′(x1)；直线l的方程为：y-y0=k(x-x0).注2.设曲线的切点为Q，求出点Q，则点Q可能为点P，可能不是P。P25问题建构曲线切线问题类型Ⅲ：求过曲线C外一点M（x1，y1）与曲线相切的切线（切点未知，切线可能不唯一）；设曲线的切点为P（x0，y0），将Ⅲ型问题转化为Ⅰ型问题进行求解；化归转化：①切点P（x0，y0）在曲线上；②切线过两点P、M；③曲线在切点P处的导数值为切线斜率；注3.求过曲线外一点的曲线切线，注意切线斜率可能不存在，此时切线为垂直x轴的直线.P26方法建构曲线切线问题解决方法思想方法：方程（组）思想设曲线C：y=f(x)，曲线的切线为l，曲线C上的切点为P（x0，y0），切线斜率为k；①切点在曲线上y0=f(x0)；②曲线在切点处的导数值为切线斜率，即：k=f′(x0)；③切点在切线上；[若切线过另外一点M(x1，y1)，则y1-y0=f′(x0)(x1-x0)]切线方程为：y-y0=f′(x0)(x-x0)P27问题探究三求曲线切线问题【例1】已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．[解析](1)∵f(x)＝x3－4x2＋5x－4，∴f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f(2)＝－2，f′(2)＝1，∴切点为(2，－2)，切线斜率为1，故曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0.P28[解析]（2）设切点坐标为P(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x20－8x0＋5，又切线过点（2，-2）∴切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，又切线过点P(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∴x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，从而点P为P(2，-2)或P(1，-2)∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.问题探究三求曲线切线问题P29【例2】设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝1x(x＞0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为________．[解析]由y＝ex，得y′＝ex，则曲线y＝ex在点(0,1)处的切线斜率为：k1＝e0＝1.又y＝1x(x＞0)的导数为y′＝－1x2(x＞0)，设P(m，n)，则曲线y＝1x(x＞0)在点P处的切线斜率k2＝－1m2(m＞0)．因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．[答案](1,1)问题探究三求曲线切线问题P30【例3】如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则曲线g(x)在x＝3处的切线方程为________．[解析]由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－13，即f′(3)＝－13；又由g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，从而g′(3)＝f(3)＋3f′(3)；由题图可知f(3)＝1，所以g(3)＝3f(3)＝3，g′(3)＝1＋3×)31(＝0；则曲线g(x)在x＝3处的切线方程为y－3＝0.答案：y－3＝0问题探究三求曲线切线问题P31【例4】已知曲线C：xey221，求过点（-1，0）且与曲线C相切的直线方程。[解析]显