高考冲刺导数专题分析

导数大题专题分析吉林省辽源市第五中学：邱雅娟导数二问特点：1.涵盖知识内容繁多；2.知识点的交汇综合性强；3.解题思想和解题方法灵活多变。导数常见题型：•1.求函数中的参数的取值范围；•2.讨论含参函数的零点问题；•3.求含参数的函数的最值问题；•4.超越不等式的问题；①一元不等式问题②双元不等式问题常见解题方法和思想：一：任意存在性问题求参数取值范围1.恒成立问题：①分离变量；②构造函数2.存在性问题：①分离变量数形结合；②构造函数二：一元不等式问题1、构造法2、放缩法3、奇葩法4、与数列相关法三：双元不等式问题1、消元法2、集中变量法3、齐次式换元法4、翻篇法5、解不等式法四：整体代换法（各种题型都可用）1.每种方法使用的前提是什么？2.每种方法使用的原理是什么？3.具体操作时注意事项是什么？思考：一、任意存在性问题求参数取值范围1.恒成立问题：①分离变量；②构造函数2.存在性问题：①分离变量数形结合；②构造函数解：（一）恒成立之分离变量（1）（2）（二）恒成立之构造函数：（II）'()12xfxeax由（I）知1xex，当且仅当0x时等号成立.故'()2(12)fxxaxax，当12a时，即120a，'()0(0)fxx，而(0)0f，于是当0x时，()0fx.当12a时，由1(0)xexx可得1(0)xexx.，'()12(1)(1)(2)xxxxxfxeaeeeea，故当(0,ln2)xa时，'()0fx，而(0)0f，于是当(0,ln2)xa时，()0fx.综合得a的取值范围为1(,]2.解：设函数2()1xfxexax。（1）若0a，求()fx的单调区间；（2）若当0x时()0fx，求a的取值范围（三）恒成立构造之踩线法：解：设函数2()1xfxexax。（1）若0a，求()fx的单调区间；（2）若当0x时()0fx，求a的取值范围踩线法反例：（四）存在性问题：二、一元不等式问题1、构造法2、放缩法3、奇葩法4、与数列相关法)()(xgxf要证0)()()(Fxgxfx)()()(xgxmxfmaxmin)()(xgxf（一）一元不等式问题之放缩法：基础不等式：（一）一元不等式问题之放缩法：已知函数2xfxex.(Ⅰ)求曲线fx在1x处的切线方程；(Ⅱ)求证：当0x时，21ln1xeexxx.'2xfxex，由题设得'12fe，11fe，fx在1x处的切线方程为21.yex思路分析：【点睛】解本题的关键是第（1）结论对第（2）问的证明铺平了路，只需证明21xeexxxln1x。（一）一元不等式问题之放缩法：已知函数1ln1fxaxx的图象与x轴相切，211log2bxgxbx．（Ⅰ）求证：21xfxx；（Ⅱ）若1xb，求证：2102bgx（一）一元不等式问题之放缩法：已知函数2()xfxeaxaR。（1）若()()1fxgxx有三个极值点123,,xxx，求a的取值范围；（2）若3()1fxax对任意0,1x都恒成立的a的最大值为，证明：2655。欲证23min261265555xexx，而min23min111()8111248xeeuxuexx，只需证明26815e，显然成立。下证2323min231155,0,1551,0,1xxxeexxxxxexxx，先证：23111,0,126xexxxx，要证：23551,xexx只需证2323115511,0,126xxxxxx思路分析：155612113232xxxxx只需证：（一）一元不等式问题之放缩法：（二）奇葩法之基本图像：xylnlnxyxlnyxx（二）奇葩法之基本图像：xxye已知函数xxfxe.（1）求函数fx的单调区间；（2）证明：12lnxxeex.（二）一元不等式问题之奇葩法：思路分析：要证12lnxxeex成立，只需证2lnxxxxee成立，易证：1lnxxe，21xxeee。从而问题得证.（二）一元不等式问题之奇葩法：（三）一元不等式问题之与数列相关：已知函数lnxfxexaxax，aR．（1）当1a时，求函数fx的图象在0x处的切线方程；（2）若函数fx在定义域上为单调增函数．①求a最大整数值；②证明：23341ln2lnlnln231nnene．由①知，1ln2xexxln2xex，令1txt，∴111ln2lnttttett∴11lntttet．累加得0121neeee23341ln2lnlnln23nnn．又0121neeee11111111neeeee，∴2334ln2lnln231ln1nnene．三、双元不等式问题：（目标化双元为一元）1、消元法2、集中变量法3、齐次式换元法4、翻篇法5、解不等式法（一）双元不等式问题之消元法：21102xfxxaxbhxeaxb得1xhxea①当10a时，0hxyhx在xR上递增x时，hx与0hx矛盾②当10a时，0ln1,0ln1hxxahxxa得：当ln1xa时，min11ln10hxaaab令22ln(0)Fxxxxx；则12lnFxxx00,0FxxeFxxe当xe时，max2eFx当1,aebe时，1ab的最大值为2e已知函数fx满足满足121102xfxfefxx；（1）求fx的解析式及单调区间；（2）若212fxxaxb，求1ab的最大值.解：已知函数21ln22fxxxkxkR.（1）讨论fx的单调性；（2）若fx有两个极值点12,xx，且12xx，证明：232fx.（2）21ln2(0)2fxxxkxx1'2fxxkx由（1）知1k时，fx0,递增，fx无极值当1k时，2121'2xkxfxxkxx由'0fx得2210xkx，2440k，设两根12,xx，则122xxk，121xx，其中1201xxfx在10,x上递增，在12,xx上递减，在2,x上递增2222222221222222222212211122112fxlnxxkxlnxxxxxlnxxxxxlnxx令21ln1(1)2txxxx1'0txxx，所以tx在1,上单调递减，且312t故232fx.（一）双元不等式问题之消元法：（二）双元不等式问题之集中变量法：已知函数2lnfxxmxx.（1）若12x是fx的一个极值点，求fx的最大值；（2）若121,,xxee，12xx，都有2112xfxxfx1221xxxx，求实数m的取值范围.21xx（2）由题意得121,,xxee，12xx都有2112xfxxfx1221xxxx111fxxx222fxxx，令函数fxgxxx2lnxmxxxxln1xmxxx，21xx（三）双元不等式问题之齐次式换元法：已知函数2ln21fxaxxaxaR有两个不同的零点.（1）求a的取值范围；（2）设1x，2x是fx的两个零点，证明：122xxa.（四）双元不等式问题之翻篇法：已知函数2ln21fxaxxaxaR有两个不同的零点.（1）求a的取值范围；（2）设1x，2x是fx的两个零点，证明：122xxa.由（1）知∵fx有两个不同零点，∴1a，且当0,xa时，fx是增函数；当,xa时，fx是减函数；不妨设：12xx，则：120xax；设2Fxfxfax，0,2xa，则：'''2Fxfxfax2212aaxaxax2221axa22222xaaaxaxxax.当0,xa时，'0Fx，∴Fx单调递增，又∵0Fa，∴0Fx，∴2fxfax，∵10,xa，∴112fxfax，∵12fxfx，∴212fxfax，∵2,xa，12,axa，fx在,a上单调递减，∴212xax，∴122xxa.),0(ax（四）双元不等式问题之齐次式换元法变形：思路分析：已知函数fx=lnx，gx=x+m.Ⅰ若fx≤gx恒成立，求m的取值范围；Ⅱ已知x1，x2是函数Fx=fx−gx的两个零点，且x1x2，求证：x1x21.双元不等式问题之齐次式换元和翻篇法：法一∵lnx1−x1−m=0lnx2−x2−m=0,∴lnx2−x2=lnx1−x1求解x2−x1lnx2−lnx1=1转化为证明lnx2−lnx1x2−x1x1x2，设t=x2x1，求导证明结论；法二：要证x1x21，只需证x21x1，由单调性只需证F(x2)F(1x1)，F(x1)=F(x2)=0，只需证F(1x1)=ln1x1−1x1−m0，令h(x)=−1x+x−2lnx证明结论思路分析：Raxaxxxf,21ln)(2已知函数215,0)()(,,23)(),1()()(2))1(1)(0121212121xxxxxfxfxxaxgaxxfxgfxfa证明：满足正实数）若（的极值；求函数）令（处的切线方程；，在点（时，求函数）当（（五）双元不等式问题之解不等式法：思路分析：四、整体代换思想解题：已知函数f(x)=ex-ln(x+m)(Ι)设x=0是f(x)的极值点，求m,并讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明f(x)0（Ⅰ）讨论函数2e2xxfxx的单调性，并证明当x0时，2e20xxx；（Ⅱ）证明：当0,1a时，2e=(0)xaxagxxx（）有最小值.设g（x）的最小值为ha，求ha的值域.四、整体代换思想解题：已知函数f(x)=ax2−ax−xlnx,且f(x)≥0.（1）求a；（2）证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e−2f(x0)2−2.思路分析：四、整体代换思想解题：已知函数f(x)=xex+lnxx.（1）求证：函数f(x)有唯一零点；（2）若对任意x∈(0,+∞)，ln1xxexkx恒成立,求实数k的取值范围.设f(x)的零点为x0，即x0ex0+lnx0x0=0.原不等式可化为xex−lnx−1x≥k，令g(x)=xex−lnx−1x，则g'(x)=xex+lnxxx，由（1）可知g