高等数学第八章多元函数积分学

第八章多元函数积分学•一二重积分的概念及简单性质•二二重积分的计算一、问题的提出二、二重积分的概念三、二重积分的性质四、小结柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.),(yxfzD１．曲顶柱体的体积一、问题的提出曲顶柱体回忆定积分.设一元函数y=f(x)在[a,b]可积.niiibaxfxxf10)(limd)(则.d)(,0)(面积在几何上表示曲边梯形时当baxxfxf如图0xyabxixi+1iy=f(x)f(i)其中i[xi,xi+1],xi=xi+1xi,表小区间[xi,xi+1]的长,f(i)xi表示小矩形的面积.求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法．设有一立体.其底面是xy面上的区域D,其侧面为母线平行于z轴的柱面,其顶是曲面z=f(x,y)0,连续.称为曲顶柱体.若立体的顶是平行于xy面的平面.则平顶柱体的体积=底面积×高.0yzxz=f(x,y)D如图一、例1.求曲顶柱体的体积V.(i)用曲线将D分成n个小区域D1,D2,…,Dn,每个小区域Di都对应着一个小曲顶柱体.如图z=f(x,y)0yzxz=f(x,y)DDiDi(ii)由于Di很小,z=f(x,y)连续,小曲顶柱体可近似看作小平顶柱体.(i,i)Di.小平顶柱体的高=f(i,i).若记i=Di的面积.则小平顶柱体的体积=f(i,i)i小曲顶柱体体积f(i,i)(i,i)Diz=f(x,y)(iii)因此,大曲顶柱体的体积niiiifV1),(分割得越细,则右端的近似值越接近于精确值V,若分割得无限细,则右端近似值会无限接近于精确值V.1lim(,)niiiifniiiifV1),(lim若存在则(iv)},{max1的直径记iniD其中Di的直径是指Di中相距最远的两点的距离.,),(lim10niiiifV则其中(i,i)Di,i=Di的面积.xyDi如图xzyoD),(yxfzi),(ii求曲顶柱体体积的方法：分割、取近似、求和、取极限。步骤如下：xzyoD),(yxfz1.分割D任意分成n个小闭区域1，,2…，,n其中i表示第i个小闭区域，也表示它的面积。对应的小曲顶柱体体积为.iV2.取近似在每个i上任取一点),(ii，),(iiifVi.3.求和.),(1iiniifV4.取极限.),(lim10iiniifV},,,max{11ni),(ii设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点),(yx处的面密度为),(yx，假定),(yx在D上连续，平面薄片的质量为多少？２．求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量.),(lim10iiniiMxyoi),(ii定义设),(yxf是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成n个小闭区域1，,2…，,n其中i表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个i上任取一点),(ii，作乘积),(iifi，),,2,1(ni，并作和iiniif),(1，二、二重积分的概念如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(yxf在闭区域D上的二重积分，记为Ddyxf),(，即Ddyxf),(iiniif),(lim10.积分区域被积函数积分变量------被积表达式面积元素niiiiDfdyxf10),(lim),(dyxf),((1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的.(3)当),(yxf在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在.对二重积分定义的说明：(2)二重积分值仅与),(yxf及D有关，与积分变量符号无关，即DDdvufdyxf),(),(二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．xzyoD),(yxfzi),(iixzyo),(yxfzDi),(ii在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，DDdxdyyxfdyxf),(),(dxdyd故二重积分可写为则面积元素为xyoDdxdy性质１当k为常数时，.),(),(DDdyxfkdyxkf性质２Ddyxgyxf)],(),([.),(),(DDdyxgdyxf（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质性质３对区域具有可加性.),(),(),(21DDDdyxfdyxfdyxf性质４若为D的面积，.1DDdd性质５若在D上),,(),(yxgyxf.),(),(DDdyxgdyxf特殊地.),(),(DDdyxfdyxf)(21DDD则有设M、m分别是),(yxf在闭区域D上的最大值和最小值，为D的面积，则性质６设函数),(yxf在闭区域D上连续，为D的面积，则在D上至少存在一点),(使得性质７（二重积分中值定理）DMdyxfm),(),(),(fdyxfD（二重积分估值不等式）思考题将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.定积分与二重积分相同之处：都表示某种和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是:定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数;二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数．思考题解答利用直角坐标计算二重积分先讨论积分区域为：,bxa).()(21xyx其中函数、在区间上连续.)(1x)(2x],[ba利用直角坐标系计算二重积分［X－型］xyoab)(1xy)(2xyxyoab)(1xy)(2xyX型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.zyxo为底，的值等于以DdyxfD),(21()()()(,).xxAxfxydy.0),(yxf假定为曲顶柱体的体积．以曲面),(yxfz)(2xy)(1xy),(yxfz)(xAxbaxdx()dVAxdx(,)DfxydbaVdV()baAxdx21()()(,)bxaxfxydydx积分区域为：,bxa).()(21xyx［X－型］.),(),()()(21Dbaxxdxdyyxfdyxf一般地，21()()(,)bxaxdxfxydy---先对y积分，后对x积分的二次积分.),(),()()(21dydxyxfdyxfDdcyy如果积分区域为：,dyc).()(21yxy［Y－型］xyocd)(1yx)(2yxxyocd)(1yx)(2yxdcyydxyxfdy)()(21),(---先对x积分，后对y积分的二次积分1.若D既是x—型区域,又是y—型区域.比如x0yx0yx0ydcyxyxbaxyxydxyxfdydyyxfdx)()()()(2121),(),(Ddyxf),(当用某次序算二重积分不好算时,可改换积分次序,可能好算.则既可先对x积分,又可先对y积分.等等,此时,2.（1）如果积分区域是矩形dycbxa,Ddyxf),(dcbadyyxfdx),(badcdxyxfdy),(（2）如果被积函数f(x,y)=f1(x)·f2(y),且积分区域是矩形区域，则.)()(),(21dcbaDdyyfdxxfdyxf设D：axb,cyd.f(x,y)=f1(x)·f2(y)可积，则.)()(),(21dcbaDdyyfdxxfdyxfyx0dcabDdyxf),(:证Ddxdyyfxf)()(21dcbadyyfxfdx)()(21badcdxdyyfxf])()([21.)()(12badcdxxfdyyf比如，.32103210dyexdxdyxedxyy.sin2sin101020rdrrrdrrd若区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别使用积分公式.),(),(),(),(321DDDDdyxfdyxfdyxfdyxf则必须分割.3.例1将dxdyyxf),(D化为二次积分。其中D由直线4,2,2,yyxyxy围成。xyo24624xy2xy解1：先画出积分区域D。D是Y－型。24.42,2:yyxyD于是，dxdyyxf),(Ddxyxfyy),(242dyxyo24624xy2xy解2：26.21DDD于是，dxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf),(),(),(21DDDdyyxfx),(242dx41D2D.2,42:1xyxD.42,64:2yxxDdyyxfx),(4264dx例2计算dxyD其中D由直线2,1,xyxy围成。xyo1212xy1y2x解先画出积分区域D。D是X－型。.1,21:xyxD于是，dxyDdyxyx121dx12xyx12221dx32122xxdx212448xx.89于是，dxyDdyxyx121dx计算Dyxxydd,其中D:22yx≤1x≥0，y≥0.解作D的图形(见下图).先对y积分(固定x),y的变化范围由0到21x,然后再在x的最大变化范围[0,1]内对x积分，于是得到OyxD11xDyxxydd21100ddxxxyy2411200111(1)d().22248xxxxx本题若先对x积分，解法类似.例3例4改变积分xdyyxfdx1010),(的次序.解积分区域为.10,10:xyxDxyo11xy1.10,10:yyxDxdyyxfdx1010),(于是，D),(dyxf.),(1010ydxyxfdy例5改变xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的积分次序.解xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2设21DD),(),(dyxfdyxf.20,10:21xxyxD.20,21:2xyxD则xyo1211Dxy22D102112),(yydxyxfdy.于是，xyo1211Dxy22D设21DDD.10,211:2yyxyDdyxf),(D原式xyo121D例6求Ddxdyyx)(2，其中D是由抛物线2xy和2yx所围平面闭区域.解求两曲线的交点),1,1(,)0,0(22yxxyDdxdyyx)(21022)(