第二章-薄板振动

第二章薄板的振动问题§2-1薄板的自由振动等厚度各向同性薄板的非齐次运动方程为DtyxptwDmw,,224m其中为板的单位面积上的质量。p为动载荷。首先考虑齐次运动方程，即自由振动问题令w=T(t)W(x,y),代入齐次方程，两边同除TW,得0twDmw224（1）（2）0TTDmWW4分离变量得常微分方程0TT2和微分方程固有值问题0WDmW24（3）（4）其的通解为tBsintAcosT因此薄板的自由振动问题可化为微分方程的固有值问题，即求振形函数在齐次边界条件下的非零解。使自由振动问题有非零解的频率ω称为固有频率，相应非零解W称为固有函数。振形微分方程（4）以及齐次边界条件完全确定固有频率的数值，而与动载荷无关。0WDmW24§2-2四边简支矩形薄板的自由振动设有四边简支的矩形薄板如图所示。OabxyACB取振形函数形式为bynaxmWsinsin代入振形方程（4）得2222242bnammD给定一组m,n的值，就可得到一个相应的固有频率，不妨用两个下标来表示某个固有频率，上式可写成2222242bnammDmn由此可写出挠度函数的形式解11sinsinmnmnmnmnmnbynaxmtsinBtcosAw将挠度的初始条件展成固有函数的级数其中待定系数由挠度函数的非齐次初始条件决定。1111sinsinsinsinmnmn0tmnmn0tbynaxmDtwbynaxmCw解得mnmnmnmnmnDBCA其中a0b00tmna0b00tmnyxbynaxmtwab4Dyxbynaxmwab4Cddsinsinddsinsin挠度表达式11sinsinddsinsinddsinsinmnmna0b00tmnmna0b00tbynaxmtsinyxbynaxmtwab4tcosyxbynaxmwab4w讨论运用分离变量法解偏微分方程，必然导致固有值问题：•分离变量法要求分离变量后每个函数有非零解，因此要求固有值存在；•方程和定解条件要求固有函数具有正交性和完备性；•非齐次初值条件或自由项（受迫振动时）或方程的解等，应能用固有函数展开成平均收敛的级数。§2-3瑞次法及其应用设薄板振形变形能为yxyxWyWxW12WD21WU22222222dd（5）对于具有夹支或简支边的矩形薄板，可简化为yxWD21WU22dd（6）（7）对于夹支圆形薄板，可简化为（8）对于圆形薄板轴对称问题，振形变形能为rrWrW2rWr1rWrDWU222222dddddddddrrWr1rWrDWU2222ddddd0WDmW24设薄板振形泛函为dxdyWmWU2221其中W为可能的振形函数。可以证明由泛函的驻值条件可以导出方程（4）。为了求固有频率或固有函数的近似解，设m1iiiWCW其中Wi为满足齐次位移边界条件且线性互不相关的基函数，Ci为待定系数。振形的变分是由系数变分实现的，基函数在变分中保持不变（9）m1iiiCWW将此式代入泛函的变分方程，得0dxdyWmWUCi2221瑞次方程。瑞次方程是m个齐次线性方程，由m个系数Ci的非零解条件，从而得出m个固有值的表达式。瑞次方程例1四边简支矩形板固有频率11sinsinmnmnbynaxmCW取振形函数为可以满足齐次位移边界条件。代入泛函表达式，得11112221mn2mn2mn222222mn4C8abmbnamC8abDdxdyWmWU于是由瑞次方程，得02C8abmbnam2C8abDmn222222mn42222242bnammD由系数Cmn的非零解条件，得固有频率表达式与上一节中的精确答案相同。最低固有频率的近似计算若基函数只取一项W1，瑞次方程可简写成0dxdyWmdxdyWU2221•若基函数W1为最低固有函数，则可以得到精确的最低固有频率；•若基函数W1的振形非常接近最低固有函数，，则可以得到近似的最低固有频率。例2四边夹支矩形板OabxyACB设有四边夹支的矩形薄板如图所示。试用瑞次法计算薄板最低固有频率的近似值。解222222b-ya-xW取振形函数为可以满足位移边界条件（无内力边界条件）。代入瑞次方程，得0ba753m2ba7b4aba753D2dxdyWmWU9922415552244221422221于是得对于正方形薄板与最低固有频率的精确答案mDa7b4aba126322244mDa00092.mDa99682.几乎相同。思考题对于方形薄板•是简支的基频较高•还是夹支的基频较高mDa9968mDa2222.例3夹支圆形板设有边界夹支的圆形薄板如图所示。试用瑞次法计算薄板最低固有频率的近似值。a圆形薄板夹支边界条件解222ar-1W取振形函数为可以满足位移边界条件（无内力边界条件）。代入瑞次方程，得0a10m3aD32rdrWmWUdxdyWmWU22a02222221于是得比最低固有频率的精确答案mDa10.33mD3a15822mDa22102.仅大出1%。§2-4四边简支薄板的受迫振动采用固有函数展开法求解薄板非齐次运动方程。举例，设四边简支矩形薄板受到动载荷的作用，试求解挠度的级数解，并讨论共振问题。tcosyxPp,简支矩形薄板的固有函数为bynaxmsinsin采用固有函数展开法，可得：固有函数展开11sinsinmnmnbynaxmtww11sinsinmnmntcosbynaxmCpa0b0mnyxbynaxmyxPab4Cddsinsin,其中w已经满足边界条件，wmn(t)为待定函数。将级数表达式代入方程（1）和齐次初始条件，可得mtyxptwwmD,,22411sinsinmnmnmnmn2222240bynaxmtcosmCtwtwmDbnam1111sinsinsinsinmnmnmnmn0bynaxm0w0bynaxm0w由此可知wmn必满足二阶线性常微分方程的初值问题，方程的解等于齐次通解加特解00w0w0tcosmCtwtwmnmnmnmnmn2mntcosmCtsinBtcosAtw22mnmnmnmnmnmnmn由初值条件可确定通解中的两个系数，最后得11sinsinmnmnbynaxmtww11sinsinmnmn22mnmnbynaxmtcos-tcosmCmnmnmnmnmn22mnmn22mnttcos-tcos1tcos-tcos1,2sin,t在挠度w(x,y,t)表达式中存在共振发散项共振现象思考题能否将薄板受迫振动化为初值问题处理？谢谢