上机实验题

上机实验题(可用Matlab,C/C++,Java中任一种编程语言)1.(第一章上机题3)编程观察无穷级数∑1𝑛∞𝑛=1的求和计算.(a)采用IEEE单精度浮点数，观察当n为何值时求和结果不再变化，将它与理论分析的结论进行比较（注：在Matlab中可用single命令将变量转成单精度浮点数）.(b)用IEEE双精度浮点数计算(a)中前n项的和，评估IEEE单精度浮点数计算结果的误差.(c)如果采用IEEE双精度浮点数，估计当n为何值时求和结果不再变化，这在当前做实验的计算机上大概需要多长的计算时间？2.(第二章上机题4)编程实现阻尼牛顿法.要求：a).设定阻尼因子的初始值λ0及解的误差阈值ε；b).阻尼因子λ用逐次折半法更新；c).打印每个迭代步的最终λ值及近似解.用所编程序求解：(1)𝑥3−𝑥−1=0，取𝑥0=0.6;(2)−𝑥3+5𝑥=0，取𝑥0=1.2.3.(第三章上机题6)编程序生成Hilbert矩阵𝑯𝑛（见例3.4），以及n维向量𝒃=𝑯𝑛𝒙，其中𝒙为所有分量都是1的向量.用Cholesky分解算法求解方程𝑯𝑛𝒙=𝒃，得到近似解𝒙̂，计算残差𝒓=𝒃−𝑯𝑛𝒙̂和误差∆𝒙=𝒙̂−𝒙的-范数.(a)设n=10,计算‖𝒓‖∞,‖∆𝒙‖∞.(b)在右端项上施加10−7的扰动然后解方程组，观察残差和误差的变化情况.(c)改变n的值为8和12，求解相应的方程，观察‖𝒓‖∞,‖∆𝒙‖∞的变化情况.通过这个实验说明了什么问题?4.(第四章上机题3)考虑10阶Hilbert矩阵作为系数阵的方程组𝑨𝒙=𝒃，其中，𝑨的元素𝑎𝑖𝑗=1𝑖+𝑗−1，𝒃=[1,12,…,110]𝑇.取初始解𝒙(0)=𝑶，编写程序用Jacobi与SOR迭代法求解该方程组，将‖𝒙(𝑘+1)−𝒙(𝑘)‖∞10−4作为终止迭代的判据.(a)分别用Jacobi与SOR（𝜔=1.25）迭代法求解，观察收敛情况；(b)改变𝜔的值，试验SOR迭代法的效果，考察解的准确度.5.(第五章上机题6)用幂法求下列矩阵按模最大的特征值𝜆1及其对应的特征向量𝒙1，使|(𝜆1)𝑘+1−(𝜆1)𝑘|10−5.(a)𝑨=[5−41−46−41−47]，(b)𝑩=[25−41−416810−6−171010−17−6105−3−32].