振动力学习题集

1例：一等截面简支梁质量不计，长度3lm，258800EINm。有一质量90mkg的物块从梁的中点上方10hmm处落下，且物块与梁接触后不分开，试计算接触后系统自由振动的固有频率及振幅。解：（1）梁中点受竖直向下单位力作用的挠度即为柔度系数348lEI，因此固有频率为：13348485880034.1903nEIsml（2）重物落下与梁接触时开始振动，初始条件为3330909.838.44108.44484858800stmglymmmEI02ygh20222stnnyghh振幅为222008.442108.4415.5nyAymm梁中点的最大位移为15.58.4423.9stsAmm瑞利法（Rayleigh）:等效质量的计算方法。应用这种方法时，必须做有关振动过程中系统形态的某些假设，称之为形状函数或振型。所假设的振型与真实振型存在差异，相当于对系统附加了某些约束，增加了系统的刚度，固有频率略高于精确值。以静变形曲线作为振动形状，所得结果误差很小。如果对结构的弹性曲线假设任一适当形状，可以期望得到接近振动真实周期的近似值，如果选的形状精确，就会得到精确的周期。插P10例1.4.1如图示，悬臂梁（棱柱形）自由端处带有重量mg，设梁的密度为，求考虑梁的质量时，系统的固有频率。2xyymLXmgdX解：无重悬臂梁端有荷载mg时的静力挠曲线方程为：23(3)(0)6mgylxxxlEI由此可得B端挠度EImglym33令33223)(lxlxtyym则232303()22lmlxxTydxl22113333,14022140mmyylmml为梁作用在B点的等效质量对于这种情况，振动的周期与端点处承受下列质量的无质量悬臂梁相同133140Mmmml∴B端总重为:133()()140Mgmmgmlg即使在l不太小的情况下，等效质量33140l也可以应用将结果用于0m的极端情况（悬臂段的集中质量为零），可有：333()1403stllgEI所得的振动周期则为：443322214033.567stgllgEIgEI3同一情况的精确解为：423.515lEI(此处参看Timoshenko,工程中的振动问题，P２89，式（m）)近似解的误差约为1.5%，，故'nn，即近似解的周期小于精确解的周期，固有频率大于精确解的固有频率。原因近似解是对梁的变形做了假设，相当于增加了约束，即增加了系统的刚度，所以固有频率略大，周期略小。若不考虑梁的质量,则：31732.1mlEI若3255813.1,mlEIml，误差10.0%若33638.1,21mlEIml，误差5.7%等效质量、等效刚度：使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度；使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效质量。例1.4.2假设图示系统中的杠杆是不计质量的刚体，求系统对于坐标ｘ的等效质量和等效刚度。xL2L3L1m2m1k1k2图1解：（1）能量法，动能：2222221212211111()()222llTmxmxmmxll取静平衡位置为零势能点：3222231212211111()()222llVkxkxkkxll4（对于有重力势能影响的弹性系统，如果以平衡位置为零势能位置，则重力势能与弹性势能之和相当于由平衡位置（不由自然位置）处计算变形的单独弹性力的势能。）因此简化后的弹簧质量系统的等效质量及等效刚度为：223212122211,llMemmKekkll如果21ll，那么质量2m振动中的速度将比质量1m的速度大。由上面公式可知，由高速部分向低速部分简化（以1m的位移为广义坐标，表示2m的位移）时，质量将被放大；由低速向高速部分简化时，质量将被缩小。（2）按定义方法：设使系统在ｘ方向上产生单位加速度需要施加力P（图2），则在质量1m及2m上将有图2所示的惯性力对点Ｏ取矩：m1Pm2L2L11x=1FoxFoy图20211122100MlPlmlmll∴212221llmmPP即为系统在x坐标上的等效质量，故221221lMemml设使系统在x方向上产生单位位移需要施加力P（图3）5k=11Pk2L3L1x=1FoyFox图3由图3：00M31123110lklklPll（从静平衡位置开始计算，平衡位置时的弹性力矩和重力矩相抵消）231221lPkkl231221lKekkl（3）动量矩定理FoxFoymg1Fk1mg2Fk2x2图4由图4，取为广义坐标，应用质点系对固定点Ｏ的动量距定理，有：()00()eidLmFdt2202211()Lmlml（取逆时针为正）2202211()dLmlmldt()022111123()eikkMFmglmglFlFl6221111112233()()ststmglmglkllkll2211221123221121112233ststmglmglklkklklklkll（从静平衡位置开始计算，平衡位置时的弹性力矩和重力矩相抵消）222222111123()()0mlmlklkl即：223212122211()()0llmmkkll故有223212122211,llMemmKekkll同学们可取x2为广义坐标试算结果插P15例1.5.1图示为一阻尼缓冲器，静载荷P去除后质量越过平衡位置的最大位移为初始位移的10%，求缓冲器的相对阻尼系数。MPxx0kc解：0000Pxxtkxx静平衡位置7将初始条件式代入式（1.3.13）,并注意到：)1(222nd，得00()(cossin)ntndddxxtextt求导得速度为：20sinntnddxxet设在时刻1t，质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为0sin)(10211textxdtdnn由此求出112(),2ddddtTTt得即经过半个周期后出现第一个振幅1X，求得2111100()ntXxtxexe由此题已知条件得211010100Xex解得：59.030.230.2)10(ln)10(ln222222(由（1.4.4）002102112lnln2ln10112nXxnXx，得：，同样得0.59)做此类题目特别是考虑阻尼的系统，运动方程都比较复杂，要细心推导各个公式。此题关键是求得1()xt8插P22例2.2.1：此题中（P21，例2-2），若通过改变转速，测得共振时的垂直振幅为1.07cm，而超过共振很远时，垂直振幅值趋于0.32cm。若偏心质量为12.7kg，偏心距为15cm，支承弹簧总刚度cmNk/7.976，计算支承阻尼器的阻尼比以及转速min/300rN时机器的垂直振幅。解：机器与偏心总质量为M（是个未知量），由式（2.1.4）22001222)2222(1)(2)nnFkFmlmlmlXkkkM(共振时，推导出11.07(1)2mlXcmM①当式（2.1.4）中1时，有2022FmlmlXMMM，故：20.32mlXcmM②①/②得：15.0207.132.0③由②得：0.32mlM0.320.32976.712.812.715nkkrsMml激励频率2230031.4/6060Nrs故31.42.4512.8n又由：2202nFmlmlkMM得垂直振幅232220.38(1)(2)mlXcmM若11012.8128(1222/min)10nNrs，则223422222210100.323.2610(110)(20.1510)(110)(20.1510)mlXcmM934/116XX此结果亦说明激扰力频率愈高，振幅愈小。例2.2.2有四根钢杆悬挂着一块刚性平板，在平板上搁置一台电动机，每一钢杆的刚度为k=2KN/mm，截面积A=3cm2，电动机与平板的总质量M=12t（钢杆质量不计），当电动机开动后产生垂直简谐激励力tPsin，激励力幅值为P=2KN，激励力频率为245r/min。阻尼的对数衰减系数0.1。试求钢杆的最大应力。解：因平板绝对刚性，故电动机与平板（视为一个质量）的竖向位移，即为钢杆的竖向位移。重力产生的静变形为129.815442stMgmmk系统的固有频率：39.825.56/245/min1510nstgrsNr相当于故激振力频率与固有频率近似相等，产生共振式（2.1.15）为共振时的动力放大系数4.312212/1（2）故钢杆中的最大动应力为3max421031.452.344310dPMPaA钢杆中总的最大应力36max412109.852.310152.3444310MgPMPaAA注意：计算此类题目时，一定注意各力学量单位的统一。例2.2.3如图是汽车的拖车在波形道路上行驶时于垂直方向上振动的力学模型。已知拖车的质量满载时为m1=1000kg，空载时为m2=250kg，悬挂弹簧的刚度是k=350KN/m，阻尼比在满载时为5.01，车速为V=100Km/h，路面呈正弦波形，可表示为2sinszxal，其中l=5m。求拖车在满载和空载时的振幅比。10Mk/2ck/2xxsaLzxs图1解：拖车行驶的路程可表示为：zvt因此：2sinsvxatl所以路面的激励频率3221001034.9/53600vrsl运动微分方程：0)()(ssxxkxxcxm即：tcatkakxxcxmcossin①得：22221(2)(1)(2)Xa②由式1.3.12，得2crcckm③c、k为常数，因此与m成反比∴121210000.51.0250mm故满载及空载时的频率比1131100034.91.8735010nmk223225034.90.9335010nmk1121112221112()0.68(1)(2)Xa同理21.13Xa于是得满载和空载时的振幅比120.680.601.13XX插P24例2.3.1对图示的周期性方波作谐波分析。设其周期nT12，求系统（无阻尼）的稳态响应，并且画出响应的频谱图。tP(t)P0-P0TT2图1解：在一个周期内，)(tP可表示为：0002()2TPtPtTPtT因为)(tP为奇函数，故有00,012an，，由于)()2(tPTtP，故有0,246nbn，，当n取奇数时则有：12211110022222()sin()sin+()sin()6TTTnTnbPtntdtPtntdtPtntdtTTTT04135Pnn，，，于是，周期性方波的富氏级数为：01111,3,41()sinsinnnnPPtbntntn0111411(sinsin3sin5)35Ptttn下图表示了富氏级数的前三项对方波的