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关注意义建构深化策略解构—《乘法分配律》教学改进实践与思考一．典型错题再现与原因分析1．错题再现在教学四年级下册《乘法分配律》时，发现学生在练习中的错题较多，在课题《小学数学1-6年级典型错题资源库的建设与应用》的错题库里也同样反映出了这种现象，出错率较高的是如下题目：典型错题错误率典型错题错误率（80＋4）×25=80＋25×416.5%25×(4×8)=25×4+25×826%12×97+3=12×（97+3）26.7%32×25×125=（4×25）+（8×125）37.8%2．原因分析及反思面对这样的错误率，教师一般又要花上好几节课的时间进行强化训练才能使学生的这些错误有所好转。说不好到了期末阶段或是升上一个年级，错误又“卷土重来”。这样的效果使我们很郁闷，问题到底出在什么哪里？我们开始行动——（1）“师生访谈”不放松访谈是收集资料的有效途径之一。我们对相关数学教师进行了访谈，大家有同感：乘法分配律由于学生没有生活经验基础及相关认识，其运用又变化多端,所以课即使上了,他们也没能真正理解其内涵,只是纯粹地模仿；课后，学生对这个知识点的遗忘速度非常快，且不会灵活运用。对于数学基础薄弱的学生，哪怕硬记了分配律的各种类型，依旧边记边忘，更谈不上从真正意义上去理解。我们又对出错学生进行了重点访谈，部分访谈记录如下（T为老师，S为学生）：①（80＋4）×25=80＋25×4T：说说看你为什么这样写？S：25和4是好朋友嘛，就用乘法分配律相乘了。T：既然用乘法分配律了，那80呢？S：额……我错了，也要乘25。②12×97+3=12×（97+3）T：请你读一下题。S：（读了一次）T：发现了什么？S：97和3凑整啊，很简单啊！T：读一下运算符号。S：（读了2次）完了完了……T：什么完了？S：先算乘，再算加，我明白了！T：恩，你自作主张改变了运算顺序。（生脸红）不过有简算方法吗？S：有，把97写成100—2……③25×(4×8)=25×4+25×8T：为什么要用25分别去乘4和8？S：用乘法分配律啊？！（一脸疑惑）T：是吗？我觉得有点问题，一起找找。S：（看了20秒左右）符号看错了，这里是连乘。T：那你觉得应该怎么修改？S：25×4×8=800。T：审题要仔细，别看走眼哦！（生笑）④32×25×125=（4×25）+（8×125）T：为什么想到了把32拆成4乘8？S：4和25凑成100，8和125凑成1000。T：恩，真会观察。不过，这个“+”是怎么冒出来的？S：（无语）……是乘，是乘。……访谈后发现首要问题是这些学生知道在使用乘法分配律，但普遍说不完整乘法分配律；第二个问题是关注点在“凑整”上，以为达成了凑整，就完成了简算，完全不去考虑符号等细节问题；第三个问题是受到乘法结合律的负迁移的影响，想当然得出了这样的算式。（2）“教材对比”不马虎教材研讨对比是发现问题的有利渠道之一。我们查阅了几个版本教材对这一内容的编排特点，发现人教版、北师大版的教材都是这样编排的：从问题情境列出算式入手，发现两边的算式结果是相等的，仿写这样的很多例子，于是采用不完全归纳法得出了乘法分配律（a＋b）×c=a×b＋a×c，一般教师的教学程序正好体现了教材的编排意图。说明利用情境帮助学生学习乘法分配律已经达成了共识。（3）“前测分析”不大意数据分析是寻源究底的直接依据。我们又对教学班级进行了一次前测，测试的结果显示：学生对于乘法分配律的知识起点不高，学生对于它的基本模型的感知度低，从中也可看出对于乘法意义的理解不够灵活。在解决问题时，不同的情境事件学生解决方案也是有差别的，或只是应用乘法分配律的左一半，或只是应用乘法分配律的右一半，“一题多解”的思想并未深入人心。通过对师生的访谈、各版本教材的分析和我们的前测，我们认为根本原因在于学生不知道为什么乘法分配律会成立，从两边算式相等中提取乘法分配律，只是机械记住了乘法分配律的形式，学生只知其然不知其所以然是最根本的原因，没有很好从意义入手理解乘法分配律，不利于学生对知识的掌握，也不利于建立数学模型。我们认为乘法分配律教学必须关注意义建构，在建构的基础上，寻找学生的起点与经验，以解决问题的策略形式解构模型，予以深化。基于此现象，我们把问题追溯到了乘法分配律的新授课。我们清晰地认识到了在新授该定律时，应从最核心的乘法意义作引，根据意义建立模型，提前将典型错题进行干预，并提炼生活中的乘法分配律例子，让学生充分感知，夯实乘法分配律知识的建构。二．改进教学尝试教学内容：人教版小学数学四下P64-65教学目标：1．使学生能够掌握乘法分配律并能初步感知它在简算中的作用；2．通过观察、分析、比较，引导学生概括出乘法分配律并理解与体会它的建构过程；3．培养学生能够从生活中提炼数学知识的能力。教学重、难点：抽象概括出乘法分配律，理解乘法分配律知识的建构。教学过程与思考：一．铺垫孕伏，初构雏形师：请你根据意思说算式或根据算式说意思。课件出示：6个50的和是多少？15个8的和是多少？20个7加上5个7，和是多少？【乘法分配律萌芽开始出现】101×98表示什么？（生：100个98加上1个98的和）【学生对于乘法意义掌握充分，这是良好的开端】师：请你计算101×98，你会怎么算？【有意“挑衅”，让学生的思维开始慢慢一致，拉近和乘法分配律的距离】生：用100个98加上1个98。（师板书：（100+1）×98=100×98+1×98，再用笔算验证方法的正确性）师：请你再来试试102×45。【让学生再次体验意义】（板书：（100+2）×45=100×45+2×45）师：左右两边的算式有什么联系？【从意义出发慢慢让学生开始建模乘法分配律，引导学生说出：只要用括号里的100和2分别去乘45（板书：分别去乘，并用箭头表示分别去乘），体现乘法分配律最本质的变化“分别去乘”，这时学生大脑中已有了雏形。】师：你还能用这种方法继续来算吗？课件出示：（200+4）×25（12+18）×7【强化模型，并让学生用趋于规范语言来表达方法，同时不断地通过计算左边的算式得数进行验算，体现模型的有效性。】二．猜测质疑，建构模型提出猜测：是不是所有“（□＋□）×□”的算式都可以用这种方法计算而结果不变呢？【师通过提出猜测，让集合圈扩大，将“模型”推广，检测它的普遍适用性。】学生通过大量不同数的举例，纷纷赞同。【体验是最好的论证方法。学生通过“模型”的自主应用，发现了它的适用性，这对学生脑海中乘法分配律“模型”的建立更是增强了“理解度”。】师：通过举例子的方法，我们发现了许多（□+□）×□的算式确实可以用这种方法来计算。谁能用自己的话来描述这种方法呢？【由形到数再到文字表述，步步深入，语言的描述可以看出学生是否真正对“模型”体验透了。】课件出示：两个数的和（或差），与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加（或相减）。揭题：乘法分配律用字母表示：（a+b）×c=a×c+b×c（a—b）×c=a×c—b×c【思考】现代数学观的核心内容中说道：数学教学的基本目标是努力帮助学生逐步建立和发展分析模式、应用模式、建构模式和鉴赏模式的能力，也就是说笔者用最简约的手法，用最本质的东西，为学生的知识建模，乘法分配律亦如此，从本质——乘法的意义入手，分析得出方法，验证方法的正确性，尝试方法的适用性，最终建立方法的模型，为学生学习乘法分配律建立了良好的“首因效应”，之后相关的简算练习，会大大降低错误率。三．深入生活，体验模型课件出示：一个长方形，长是8，宽是5，它的周长是多少？学生呈现两种方法：（8+5）×2=268×2+5×2=26两种方法合二为一：（8+5）×2=8×2+5×2【以计算长方形的周长为引子，以“一题多解”的形式把乘法分配律模型进行解构，达成了新知与旧知间的沟通。】课件出示了几副图片：有25匹马和25只鸵鸟，有男女生植树，有商店购物，有两位数乘两位数笔算情景。师：你想到了什么？【让学生从图中获取“一题多解”的信息，从而感悟到乘法分配律的存在。】（生开始恍然大悟，有拍桌子乐的，有拍大腿乐的，有高举手喊：我知道了，原来这样啊！）生：25匹马和25只鸵鸟一共几只腿？（4+2）×25=4×25+2×25，左边把一匹马和一只鸵鸟捆成一组，有25组，右边马一共的腿加上鸵鸟一共的腿。师：两种不同的方法，正好构成了我们今天的乘法分配律，原来它就在我们身边啊！【学生根据情境图的提醒，自编解决问题，并且将两种不同方法之间写上了“=”，让他们耳目一新：平时的一题多解正是乘法分配律的形式，从而消除了对新知的畏惧，更激发了学生观察生活的兴趣。】生：四（1）班有男生19人，女生21人，每人种了3棵树，全班级一共种几棵树？（19+21）×3=19×3+21×3，左边先算总人数再乘3；右边男女生分别种的棵树算出来，再相加。……师：现在你对乘法分配律是不是有了一种“亲切感”。【教师用“亲切感”一形容，把原本又难又枯燥的分配律顿时变成了学生的老朋友，使他们心理上有了一种释放，更会主动去亲近它。】【思考】数学课程应从学生熟悉的现实生活开始和结束。是的，数学教学就要从学生的生活经验和已有的知识点出发，联系生活讲数学。乘法分配律，将它孤立来讲，枯燥而无味的定律，学生乐意接受吗？学生会学得兴致盎然吗？不可能！可教师稍稍地从生活解决问题中一提炼，拉近了它们的距离，那么学生在应用乘法分配律时会更加得心应手，可想而知，之后的练习错误率必定会大大降低。四．巩固练习，运用模型1．填一填（85+15）×45=85×□+15×□4×（25+10）=□×□+□×□（□+□）×★=26×★+14×★27×12+43×12=（27+□）×□45×9+55×9=□○（□○□）2．判一判（前三题整题呈现，后三题只呈现前一半）56×（19+28）=56×19+28（）74×（20+1）=74×20+74（）32×（7×3）=32×7+32×3（）（25－5）×4=（32+57+11）×11=（15+7－3）×6=3．利用分配律以后能简算吗？（200+4）×25=200×25+4×25（12+18）×7=12×7+18×7（85+15）×45=85×45+15×454×（25+10）=4×25+4×1027×12+43×12=（27+43）×1245×9+55×9=9×（45+55）56×（19+28）=56×19+56×2829×36+36=36×（29+1）（25－5）×4=25×4－5×4（32+57+11）×11=32×11+57×11+11×114．拓展题：56×12+（）×（）如果能简算，可以怎么填？【思考】练习巩固环节，首先用填空题和判断题两种方式将乘法分配律的变式进行了充分展示：（85+15）×45=85×□+15×□【基本模型】27×12+43×12=（27+□）×□【逆向运算，应用频繁，出错率较高】56×（19+28）=56×19+28（）【以后练习中会出现的典型错误，提前干预】74×（20+1）=74×20+74（）【错误假象，“×1”可省略不写】32×（7×3）=32×7+32×3（）【乘法结合律与分配律的混淆，提关干预】（25—5）×4=25×4—5×4（）【乘法分配律对于小括号里是减法同样适用】（32+57+11）×11=32×11+57×11+11×11（）【括号里有多个数相加减，同样适用乘法分配律】变式中，笔者已经将今后练习当中会出现的几类典型错误提前进行干预，分别是：乘法分配律的逆向运算、乘法分配律模型的缺失、乘法结合律与分配律的混淆。其次，“利用分配律以后能简算吗”与“拓展题”这两个练习环节凸显了简算的意义。运算定律并不是达成简算的万能钥匙，有时用了定律反而使计算变得更复杂。通过此练习的对比，让学生更清晰地看到了乘法分配律在简算当中的地位与作用。三．改进实践后成效新授课结束，结合前测内容与典型错题题型，进行了后测。后测内容分三块进行：1．运用乘法分配律填上合适的数。（1）（50+17）×80=50×+17×（2）14×（22+34）=×+×（3）13×45+55×13=×（+）（4）（165－