如何求点到直线的距离

§3.3.3点到直线的距离多媒体显示实际的例子：某电信局计划年底解决本地区最后一个小区的电信宽带问题．经过测量，若按照部门内部设计好的坐标图（即以电信局为原点），得知这个小区的坐标为P（－1，5），离它最近的只有一条线路通过，其方程为2x+y+10=0．要完成这项任务，至少需要多长的电缆线？这个实际问题要解决，要转化成什么样的数学问题？在初中，“点到直线的距离”的定义是什么？Pl点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．(2,0)P0xy如何求点到直线的距离？新课探知思考1：请同学们作出图象后，思考有哪些计算方法，结果是什么？问题1演示(2,0)P0xy问题1如何求点到直线的距离？xPQyol方法①利用定义l221,1,21012.QPQPPQ.Q解：过点作的垂线，设垂足为:0,2,0,:2,lxyPPQyx1,2,.21yxxxxyxy方法②利用三角函数lPPQ.Q解：过点作的垂线，设垂足为:0,45,2,0,lxyQOPP2,OP2sin45222PQOPxPQyol方法③利用直角三角形的面积公式思考2：由于PQl所以我们还可以想到什么方法来计算呢？Plx、轴PQPR、.QR、20,,PyxR，，2,22,2.OPPR解：过点作的垂线，交点为点R(2,0)P0xy问题1如何求点到直线的距离？xPQyol,PROPQPOROPRRt中，2222,2.QPQPR即等积法(4,2)P220xy问题2：如何求点到直线的距离？类比问题1的三种解法，让学生独立思考问题2。Plx、轴yPQPR、QR、.S过点作、轴的垂线交l于点、,P4，2:220,lxy4,10,0,2,RS4,8,SPPR，中，PRSPQPSRSPRRt854548,.5QPQP105yxSRQP解：P00(,)xy0AxByC220AB如何求点到直线的距离（）？如果类比问题1、2，通过等积法来计算，你应该如何添作辅助线？解题思路是什么？引申：思考Pxy过点P作x轴、y轴的垂线交l于点RS、求出PRPS、利用勾股定理求出RS根据面积相等知dRSPRPS得到点P到l的距离dPQ用00xy、表示点RS、的坐标若从向量共线的角度加以分析，怎样解决此问题．P00(,)xy0AxByC220AB点到直线的距离（）？2200BACByAxd00AB或的特殊情况，你可以若怎样处理？问题解决你能否利用点到直线的距离公式解决引入，问题1和问题2？并比较计算结果．当A=0或B=0时,直线方程为y=y1或x=x1的形式.yoxyoy=y1x=x1QQ(x0,y0)(x0,y0)10y-yPQ=10x-xPQ=xPP例1求点0(1,2)P到下列直线的距离：2100;xy⑴241.33yx⑶32;x⑵例1解：⑴根据点到直线的距离公式，得222(1)210211025.5d32xy25(1).33d⑵解法①因直线平行于轴，法②根据点到直线的距离公式，得35032201322d24:1,33lyx:4320.lxy224132212.543d⑶根据点到直线的距离公式，例22,3A1yax2a⑴已知点到直线的距离为，求的值2,3A2a(2)已知点到直线的距离为，求的值yxa拓展2248422,aaa22820,3232.aaaa或1,10,yaxaxy22231222,11aadaa22222,aa解：⑴思考6：这一问直线方程中参数的几何意义是什么？a2,3A2a(2)已知点到直线的距离为，求的值yxa,0,yxaxya2312,22aad12,31.aaa或思考6：这一问直线方程中参数的几何意义是什么？a思考7演示2780xy2760xy例3：求平行线和的距离思考8：这两条平行直线间的距离是否为固定的？如何求这两条平行直线间的距离？可以选择哪个点？变形解：在直线2760xy上任取一点，例如(3,0),P2780xy2223708141453.53532(7)d则到直线就是两平行线间的距离．因此(3,0),P的距离00,Pxy思考9：是否可以在直线上取一般的点来求距离？2780xy求证：两平行直线11:0,lAxByC22:0,lAxByC12(,0)ABCC且的距离为1222.CCdAB评价反思，推广到一般结论：00(,)Pxy20AxByCP10AxByC00122.AxByCdAB0020,AxByC002,AxByC1222.CCdAB证明：设点是直线上任一点，则点到直线的距离为求下列两条平行线的距离：2380,23180;xyxy3410,340;xyxy312,xy6420.xy（1）（2）（3）213;d（1）（2）（3）2;d2212313.1332d2.两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是1.平面内一点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式是当A=0或B=0时,公式仍然成立.1222.CCdAB2200BACByAxd课后作业1.(1)教材。，组；，组42B109110AP1.(2)利用向量的方法证明点到直线的距离公式。