数列求和常用方法

掌握一些简单数列的求和方法数列求和常用的公式有：(1)等差数列{an}的前n项和Sn==.(2)等比数列{an}的前n项和Sn==(q≠1)(3)12+22+32+…+n2=.(4)13+23+33+…+n3=.na1+d(1)2nn1(1)1naqq11naaqqn(n+1)(2n+1)16n2(n+1)2141()2nnaa•1．公式法：直接应用等差数列，等比数列的前n项和公式，以及正整数的平方和公式、立方和公式等进行求和．常用求和方法课堂互动讲练考点突破公式法如果所给数列是等差数列、等比数列或者经过适当的变形所给数列可化为等差数列、等比数列，从而可利用等差、等比数列的求和公式来求解．(2010年高考陕西卷)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．(1)求数列{an}的通项；(2)求数列{2an}的前n项和Sn.【思路点拨】利用a1，a3，a9成等比数列，可求公差d，从而得出an.例1【解】(1)由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列，得1＋2d1＝1＋8d1＋2d，解得d＝1或d＝0(舍去)．故{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n.(2)由(1)知2an＝2n，由等比数列前n项和公式，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝21－2n1－2＝2n＋1－2.分组法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.求数列112，214，318，…，(n＋12n)，…的前n项和．例2【思路点拨】数列{an}：an＝n＋12n可看作是由等差数列{n}与等比数列{12n}对应项求和得到的，因此，可拆分成两个数列：{n}，{12n}分别求和(用公式)，再将两和相加即得．【解】Sn＝112＋214＋318＋…＋(n＋12n)＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(12＋14＋18＋…＋12n)＝nn＋12＋1－12n.倒序相加法是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.111()(1)2222nnfnfn解：221(221)2nn12112222nnn(6)(5)(1)(4)(5)Tfffff2212,2T(5)(4)(0)(5)(6)Tfffff即.32T2.2探究三：倒序相加法求和11(),()(1)22(5)(4)(0)(5)(6).例.若函数计算的值，并求xfxfnfnTfffff例3裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：1(1111)nnnn1)(11(1)knnnnkk1)1(nknknkn已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；例4(2)令bn＝1a2n－1(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.【思路点拨】由a3，a5＋a7的值可求a1，d，利用公式可得an，Sn.对于{bn}，利用裂项变换，便可求得Tn.【解】(1)设等差数列{an}的公差为d，因为a3＝7，a5＋a7＝26，所以a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，Sn＝3n＋nn－12×2＝n2＋2n.(2)由(1)知an＝2n＋1，所以bn＝1a2n－1＝12n＋12－1＝14·1nn＋1＝14·(1n－1n＋1)，所以Tn＝14·(1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1)＝14·(1－1n＋1)＝n4n＋1.即数列{bn}的前n项和Tn＝n4n＋1.错位相减法对于形如{anbn}的数列的前n项和Sn的求法(其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列)，可采用错位相减法．具体解法是：Sn乘以某一个合适的常数(一般情况下乘以数列{bn}的公比q)后，与Sn错位相减，使其转化为等比数列问题来解．(2010年高考课标全国卷改编)设等比数列{an}满足a1＝2，a4＝128.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.【思路点拨】利用公式求得an，再利用错位相减法求Sn.例5【解】(1)因a1＝2，a4＝128，∴q＝4，∴an＝2×4n－1＝22n－1.(2)由bn＝nan＝n·22n－1知Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1，①从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.②①
－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，即Sn＝19[(3n－1)22n＋1＋2]．6.并项法•将数列的每两项(或多次)并到一起后，再•求和，这种方法常适用于摆动数列的求和.例六：Sn=12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2当n是偶数时，Sn=(12-22)+(32-42)+…+［(n-1)2-n2］=-3-7-…-(2n-1)=.当n是奇数时，Sn=1+(32-22)+(52-42)+…+［n2-(n-1)2］=1+5+9+…+(2n-1)=.故Sn=(-1)n-1(n∈N*).(1)2nn(1)2nn(1)2nn1．注意对以下求和方式的理解(1)倒序相加法用的时候有局限性，只有与首、末两项等距离的两项之和是个常数时才可以用．(2)裂项相消法用得较多，一般是把通项公式分解为两个式子的差，再相加抵消．在抵消时，有的是依次抵消，有的是间隔抵消，特别是间隔抵消时要注意规律性．(3)错位相减法是构造了一个新的等比数列，再用公式法求和．方法感悟2．常见求和类型及方法(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解；(2)an＝a·qn－1，利用等比数列前n项和公式直接求解(但要注意对q要分q＝1与q≠1两种情况进行讨论)；(3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，采用分组转化法求{an}前n项和；(4)an＝bn·cn，{bn}是等差数列，{cn}是等比数列，采用错位相减法求{an}前n项和；(5)an＝f(n)－f(n－1)，采用裂项相消法求{an}前n项和；(6)an－k＋ak＝cbn，可考虑采用倒序相加法求和．