《高等数学(一)》复习资料-姜作廉

课程名称高等数学（一）教材信息名称高等数学（上册）出版社天津大学出版社作者李君湘邱忠文主编版次2007年8月第1版注：如学员使用其他版本教材，请参考相关知识点一、客观部分：（单项选择、多项选择、不定项选择、判断）（一）、单项选择部分1．函数xxxf)321()321()(为（）。（A）奇函数；（B）周期函数；（C）幂函数；（D）偶函数★考核知识点:函数的性质，参见P4-7附1.1.1（考核知识点解释及答案）：函数的基本特性：有界性：设函数f(x)的定义域为D，如果有0M，使得对Dx，都有Mxf)(，则称f(x)在D上有界。如果对Dx，使得Mxf)(，则称f(x)在D上有上界。单调性：设函数f(x)的定义域为D，如果对Dxx21,，当21xx时，恒有)()(21xfxf，就称上在Dxf)(为单调递增函数。同理，可以定义单调递减函数。我们统称单调递增和单调递减函数为单调函数。奇偶性：设f(x)的定义域为D，对Dx，如果(i))()(xfxf，则称该函数为奇函数；(ii))()(xfxf，则称该函数为偶函数．周期性：设函数f(x)的定义域为D，如果存在T≠0，使得对Dx，总有)()(xfTxf则称f(x)为D上的周期函数，T为f(x)的一个周期．通常周期函数有无穷多个周期．习惯上，我们把最小的正周期叫做该函数的周期计算过程如下：----11(-)()()=23232323=()()=(23)(23)(23)(23)11=()()=f(x)2323xxxxxxfx答案：（D）偶函数。2．函数()ln(1sin)(0)fxxx为（）。（A）无穷小量；（B）无穷大量；（C）零函数；（D）常数函数★考核知识点:无穷小与无穷大，参见P25-27附1.1.2（考核知识点解释及答案）：当0xx时，如果函数)(xf的绝对值大于任意预先给定的正数M，则我们称函数)(xf为当0xx时的无穷大量，记为)(lim0xfxx。若0)(lim0xfxx，则称函数)(xf在该极限过程中为无穷小量．简称无穷小。答案：（A）无穷小量。3．函数sin0xyxx在点处（）。（A）可导；（B）间断；（C）可微；（D）连续★考核知识点:连续与可导性，参见P40-46附1.1.3（考核知识点解释及答案】）：函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件.若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导.答案：（B）间断。4．若()ln(2sin),(0)fxxf则（）。（A）-1；（B）0；（C）12；（D）1★考核知识点:复合函数微分法，参见P61-63附1.1.4（考核知识点解释及答案）：下述“基本的求导公式”是各种导数与微分计算的基础，要求熟练掌握。在这里作为复习我们全部给出，提供多处习题计算时使用，可以反复查找使用。基本的求导公式基本初等函数求导公式0c)(为常数c1)(xx)(为实数aaaxxln)(xxe)e(axxaln1)(logxx1)(lnxxcos)(sinxxsin)(cosxx2sec)(tanxx2csc)(cotxxxtansec)(secxxxcotcsc)(csc211)(arcsinxx211)(arccosxx211)(arctanxx211)cotarc(xx复合函数的求导法则：若函数)(xgu在点x处可导,而)(ufy在点)(xgu处可导,则复合函数)]([xgfy在点x处可导,且其导数为)()(xgufdxdy或dxdududydxdy本题计算用到复合函数的求导法则和导数的四则运算法则。导数的四则运算法则：如果函数()uux及()vvx都在点x具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点x具有导数，且（1）'''()()()()uxvxuxvx；（2）'''()()()()()()uxvxuxvxuxvx；（3）'''2()()()()()()()uxuxvxuxvxvxvx(()0)vx答案：（C）12。5．若(),(0)xfxxef则（）。（A）-2；（B）-1；（C）1；（D）2★考核知识点:二阶导数计算，参见P65-68附1.1.5（考核知识点解释及答案）：求高阶导数的方法：求函数的高阶导数时，除直接按定义逐阶求出指定的高阶导数外（直接法），还常常利用已知的高阶导数公式,通过导数的四则运算,变量代换等方法,间接求出指定的高阶导数（间接法）.复合函数的求导法则若函数)(xgu在点x处可导,而)(ufy在点)(xgu处可导,则复合函数)]([xgfy在点x处可导,且其导数为)()(xgufdxdy或dxdududydxdy复合函数的求导法则可叙述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.这一法则又称为链式法则.复合函数求导既是重点又是难点.在求复合函数的导数时,首先要分清函数的复合层次，然后从外向里,逐层推进求导，不要遗漏,也不要重复.在求导的过程中，始终要明确所求的导数是哪个函数对哪个变量(不管是自变量还是中间变量)的导数.在开始时可以先设中间变量,一步一步去做.熟练之后，中间变量可以省略不写，只把中间变量看在眼里，记在心上，直接把表示中间变量的部分写出来，整个过程一气呵成.答案：（D）2。6．函数21()lg1cosxfxx为（）。（A）奇函数；（B）偶函数；（C）幂函数；（D）周期函数★考核知识点:函数的性质，参见P4-7附1.1.6（考核知识点解释及答案）：奇偶性：设f(x)的定义域为D，对Dx，如果(i))()(xfxf，则称该函数为奇函数；(ii))()(xfxf，则称该函数为偶函数．周期性：设函数f(x)的定义域为D，如果存在T≠0，使得对Dx，总有)()(xfTxf则称f(x)为D上的周期函数，T为f(x)的一个周期．通常周期函数有无穷多个周期．习惯上，我们把最小的正周期叫做该函数的周期答案：（B）偶函数。7．函数()21(0)xfxx为（）。（A）零函数；（B）无穷大量；（C）无穷小量；（D）常数★考核知识点:无穷小与无穷大，参见P25-27附1.1.7（考核知识点解释及答案）：当0xx时，如果函数)(xf的绝对值大于任意预先给定的正数M，则我们称函数)(xf为当0xx时的无穷大量，记为)(lim0xfxx。若0)(lim0xfxx，则称函数)(xf在该极限过程中为无穷小量．简称无穷小。答案：（C）无穷小量。8．函数0yxx在点处（）。（A）间断；（B）可导；（C）可微；（D）连续★考核知识点:连续与可导性，参见P40-46附1.1.8（考核知识点解释及答案）：函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件.若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导.答案：（D）连续。9．若sin(),(0)xfxef则（）。（A）-1；（B）0；（C）1；（D）2★考核知识点:复合函数微分法，参见P61-63附1.1.9（考核知识点解释及答案）：初等函数的求导法则：函数的和、差、积、商的求导法则反函数的求导法则复合函数的求导法则。若函数)(xgu在点x处可导,而)(ufy在点)(xgu处可导,则复合函数)]([xgfy在点x处可导,且其导数为)()(xgufdxdy或dxdududydxdy复合函数的求导法则可叙述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.在求复合函数的导数时,首先要分清函数的复合层次，然后从外向里,逐层推进求导，不要遗漏,也不要重复.在求导的过程中，始终要明确所求的导数是哪个函数对哪个变量(不管是自变量还是中间变量)的导数.在开始时可以先设中间变量,一步一步去做.熟练之后，中间变量可以省略不写，只把中间变量看在眼里，记在心上，直接把表示中间变量的部分写出来.答案：（C）0。10．若2(),(0)xfxef则（）。（A）-2；（B）-1；（C）1；（D）2★考核知识点:二阶导数计算，参见P65-68附1.1.10（考核知识点解释及答案）：求高阶导数的方法：求函数的高阶导数时，除直接按定义逐阶求出指定的高阶导数外（直接法），还常常利用已知的高阶导数公式,通过导数的四则运算,变量代换等方法,间接求出指定的高阶导数（间接法）.答案：（A）-2。11．函数xxxf11lg)(为（）。（A）奇函数；（B）偶函数；（C）指数函数；（D）周期函数★考核知识点:函数的性质，参见P4-7附1.1.11（考核知识点解释及答案）：函数的奇偶性：设f(x)的定义域为D，对Dx，如果(i))()(xfxf，则称该函数为奇函数；(ii))()(xfxf，则称该函数为偶函数．函数的周期性：设函数f(x)的定义域为D，如果存在T≠0，使得对Dx，总有)()(xfTxf则称f(x)为D上的周期函数，T为f(x)的一个周期．通常周期函数有无穷多个周期．习惯上，我们把最小的正周期叫做该函数的周期答案：（A）奇函数。12．函数1()cos(0)fxxxx为（）。（A）零函数；（B）无穷大量；（C）无穷小量；（D）常数★考核知识点:无穷小与无穷大，参见P25-27附1.1.12（考核知识点解释及答案）：当0xx时，如果函数)(xf的绝对值大于任意预先给定的正数M，则我们称函数)(xf为当0xx时的无穷大量，记为)(lim0xfxx。若0)(lim0xfxx，则称函数)(xf在该极限过程中为无穷小量．简称无穷小。答案：（C）无穷小量。13．函数()tan|fxx在x=0处（）。（A）间断；（B）可导；（C）可微；（D）连续★考核知识点:连续与可导性，参见P40-46附1.1.13（考核知识点解释及答案）：函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件.若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导.答案：（D）连续。14．若12()ln,()12xfxfx则（）。（A）2；（B）-2；（C）4；（D）-4★考核知识点:复合函数微分法，参见P61-63附1.1.14（考核知识点解释及答案）：基本初等函数的导数公式①0(CC为常数）；②1()(nnxnxnR但不为零）；③()xxee；④1(ln)xx；⑤(sin)cosxx；⑥(cos)sinxx；⑦()lnxxaaa；⑧1(log).lnaxxa若函数)(xgu在点x处可导,而)(ufy在点)(xgu处可导,则复合函数)]([xgfy在点x处可导,且其导数为)()(xgufdxdy或dxdududydxdy复合函数的求导法则可叙述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.答案：（C）4。15．若2()ln(1),(0)fxxf则（）。（A）-2；（B）-1；（C）1；（D）2★考核知识点:二阶导数计算，参见P65-68附1.1.15（考核知识点解释及答案）：求高阶导数的方法：求函数的高阶导数时，除直接按定义逐阶求出指定的高阶导数外（直接法），还常常利用已知的高阶导数公式,通过导数的四则运算,变量代换等方法,间接求出指定的高阶导数（间接法）.导数的四则运算法则：如果函数()uux及()vvx都在点x具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点x具有导数，且（1）'''()()()()uxvxuxvx；（2）'''()()()()()()uxvxuxvxuxvx；（3）'''2()()()()()()()uxuxvxuxvxvxvx(()0)vx答案：（A）-2。二、主观部分：（一）、填空部分1.