数学归纳法练习

第十三章推理与证明、算法、复数高考总复习·数学理科（RJ）§13.3数学归纳法数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取__________(n0∈N*)时命题成立；第一个值n0第十三章推理与证明、算法、复数高考总复习·数学理科（RJ）(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当_________时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.n＝k＋1第十三章推理与证明、算法、复数高考总复习·数学理科（RJ）【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．()(2)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．()(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．()(4)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√第十三章推理与证明、算法、复数高考总复习·数学理科（RJ）1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，等式左边的项是()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3第十三章推理与证明、算法、复数高考总复习·数学理科（RJ）【解析】当n＝1时，n＋1＝2，∴左边＝1＋a1＋a2＝1＋a＋a2.【答案】C第十三章推理与证明、算法、复数高考总复习·数学理科（RJ）2．(2018·黄山模拟)已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n＝21n＋2＋1n＋4＋…＋12n时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证()A．n＝k＋1时等式成立B．n＝k＋2时等式成立C．n＝2k＋2时等式成立D．n＝2(k＋2)时等式成立第十三章推理与证明、算法、复数高考总复习·数学理科（RJ）【解析】因为n为正偶数，n＝k时等式成立，即n为第k个偶数时命题成立，所以需假设n为下一个偶数，即n＝k＋2时等式成立．【答案】B第十三章推理与证明、算法、复数高考总复习·数学理科（RJ）3．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验n等于()A．1B．2C．3D．0第十三章推理与证明、算法、复数高考总复习·数学理科（RJ）【解析】凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝3.【答案】C第十三章推理与证明、算法、复数高考总复习·数学理科（RJ）4．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n22，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上()A．k2＋1B．(k＋1)2C.（k＋1）4＋（k＋1）22D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2第十三章推理与证明、算法、复数高考总复习·数学理科（RJ）【解析】等式左边是从1开始的连续自然数的和，直到n2.故n＝k＋1时，最后一项是(k＋1)2，而n＝k时，最后一项是k2，应加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.【答案】D第十三章推理与证明、算法、复数高考总复习·数学理科（RJ）题型一用数学归纳法证明等式【例1】设f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．第十三章推理与证明、算法、复数高考总复习·数学理科（RJ）【证明】①当n＝2时，左边＝f(1)＝1，右边＝21＋12－1＝1，左边＝右边，等式成立．②假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，那么，当n＝k＋1时，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)第十三章推理与证明、算法、复数高考总复习·数学理科（RJ）＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)f（k＋1）－1k＋1－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时结论成立．由①②可知当n∈N*时，f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．第十三章推理与证明、算法、复数高考总复习·数学理科（RJ）【思维升华】用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立．(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标．(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．第十三章推理与证明、算法、复数高考总复习·数学理科（RJ）跟踪训练1用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n2（2n－1）（2n＋1）＝n（n＋1）2（2n＋1）(n∈N*)．第十三章推理与证明、算法、复数高考总复习·数学理科（RJ）【证明】①当n＝1时，左边＝121×3＝13，右边＝1×（1＋1）2×（2×1＋1）＝13，左边＝右边，等式成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立．即121×3＋223×5＋…＋k2（2k－1）（2k＋1）＝k（k＋1）2（2k＋1），第十三章推理与证明、算法、复数高考总复习·数学理科（RJ）当n＝k＋1时，左边＝121×3＋223×5＋…＋k2（2k－1）（2k＋1）＋（k＋1）2（2k＋1）（2k＋3）＝k（k＋1）2（2k＋1）＋（k＋1）2（2k＋1）（2k＋3）＝k（k＋1）（2k＋3）＋2（k＋1）22（2k＋1）（2k＋3）＝（k＋1）（2k2＋5k＋2）2（2k＋1）（2k＋3）第十三章推理与证明、算法、复数高考总复习·数学理科（RJ）＝（k＋1）（k＋2）2（2k＋3），右边＝（k＋1）（k＋1＋1）2[2（k＋1）＋1]＝（k＋1）（k＋2）2（2k＋3），左边＝右边，等式成立．即对所有n∈N*，原式都成立.第十三章推理与证明、算法、复数高考总复习·数学理科（RJ）题型二用数学归纳法证明不等式【例2】(2018·烟台模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，证明：对任意的n∈N*，不等式b1＋1b1·b2＋1b2·…·bn＋1bnn＋1成立．第十三章推理与证明、算法、复数高考总复习·数学理科（RJ）【解析】(1)由题意，Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r.所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)．由于b0且b≠1，所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列．又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，所以a2a1＝b，即b（b－1）b＋r＝b，解得r＝－1.第十三章推理与证明、算法、复数高考总复习·数学理科（RJ）(2)证明由(1)及b＝2知an＝2n－1.因此bn＝2n(n∈N*)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n＋12nn＋1.①当n＝1时，左式＝32，右式＝2，左式右式，所以结论成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即2＋12·4＋14·…·2k＋12kk＋1，第十三章推理与证明、算法、复数高考总复习·数学理科（RJ）则当n＝k＋1时，2＋12·4＋14·…·2k＋12k·2k＋32（k＋1）k＋1·2k＋32（k＋1）＝2k＋32k＋1，要证当n＝k＋1时结论成立，只需证2k＋32k＋1≥k＋2，即证2k＋32≥（k＋1）（k＋2），第十三章推理与证明、算法、复数高考总复习·数学理科（RJ）由基本不等式得2k＋32＝（k＋1）＋（k＋2）2≥（k＋1）（k＋2）成立，故2k＋32k＋1≥k＋2成立，所以当n＝k＋1时，结论成立．由①②可知，当n∈N*时，不等式b1＋1b1·b2＋1b2·…·bn＋1bnn＋1成立．第十三章推理与证明、算法、复数高考总复习·数学理科（RJ）【思维升华】数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．第十三章推理与证明、算法、复数高考总复习·数学理科（RJ）跟踪训练2若函数f(x)＝x2－2x－3，定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是过点P(4，5)、Qn(xn，f(xn))的直线PQn与x轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2≤xnxn＋13.第十三章推理与证明、算法、复数高考总复习·数学理科（RJ）【证明】①当n＝1时，x1＝2，f(x1)＝－3，Q1(2，－3)．所以直线PQ1的方程为y＝4x－11，令y＝0，得x2＝114，因此2≤x1x23，即n＝1时结论成立．②假设当n＝k时，结论成立，即2≤xkxk＋13.第十三章推理与证明、算法、复数高考总复习·数学理科（RJ）当n＝k＋1时，直线PQk＋1的方程为y－5＝f（xk＋1）－5xk＋1－4·(x－4)．又f(xk＋1)＝x2k＋1－2xk＋1－3，代入上式，令y＝0，得xk＋2＝3＋4xk＋12＋xk＋1＝4－52＋xk＋1，由归纳假设，2xk＋13，xk＋2＝4－52＋xk＋14－52＋3＝3；第十三章推理与证明、算法、复数高考总复习·数学理科（RJ）xk＋2－xk＋1＝（3－xk＋1）（1＋xk＋1）2＋xk＋10，即xk＋1xk＋2，所以2≤xk＋1xk＋23，即当n＝k＋1时，结论成立．由①②知对任意的正整数n，2≤xnxn＋13.第十三章推理与证明、算法、复数高考总复习·数学理科（RJ）题型三归纳—猜想—证明角度一与函数有关的证明问题【例3】(2018·绵阳质检)已知数列{xn}满足x1＝12，xn＋1＝11＋xn，n∈N*.猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论．第十三章推理与证明、算法、复数高考总复习·数学理科（RJ）【解析】由x1＝12及xn＋1＝11＋xn，得x2＝23，x4＝58，x6＝1321，由x2x4x6，猜想：数列{x2n}是递减数列．下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，已证命题成立．②假设当n＝k时命题成立，即x2kx2k＋2，第十三章推理与证明、算法、复数高考总复习·数学理科（RJ）易知xk0，那么x2k＋2－x2k＋4＝11＋x2k＋1－11＋x2k＋3＝x2k＋3－x2k＋1（1＋x2k＋1）（1＋x2k＋3）＝11＋x2k＋2－11＋x2k（1＋x2k＋1）（1＋x2k＋3）第十三章推理与证明、算法、复数高考总复习·数学理科（RJ）＝x2k－x2k＋2（1＋x2k）（1＋x2k＋1）（1＋x2k＋2）（1＋x2k＋3）0，即x2(k＋1)x2(k＋1)＋2.所以当n＝k＋1时命题也成立．结合①②知，对于任何n∈N*命题成立．第十三章推理与证明、算法、复数高考总复习·数学理科（RJ）角度二与数列有关的证明问题【例4】在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*，λ0)．(1)求a2，a3，a4；(2)猜想{an}的通项公式，并加以证明．第十三章推理与证明、算法、复数高考总复习·数学理科（RJ）【解析】(1)a2＝2λ＋λ2＋2(2－λ)＝λ2＋22，a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)22＝2λ3＋23，a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)23＝3λ4＋24.(2)由(1)可猜想数列通项公式为：an＝(n－1)λn＋2n.下面用数学归纳法证明：①当n＝1，2，3，4时，等式显然成立，②假设当n＝k(k≥4，k∈N*)时等式成立，即ak＝(k－1)λk＋2k，第十三章推理与证明、算法、复数高考总复习·数学理科（RJ）那么当n＝k＋1时，ak＋