弹性力学课件考试题剖析

弹性力学ELASTICITY2.平面问题的基本理论任何一个实际的弹性力学问题都是空间问题求解复杂的偏微分方程组的边值问题求解困难工程结构的形状和受力具有一定特点弹性力学的平面问题特点：某些基本未知量被限制在平面内发生的弹性力学ELASTICITY2.平面问题的基本理论2.1平面应力问题与平面应变问题平面应力问题深梁：(1)几何特征一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。如：深梁，板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等,ab——平板yxOzy/2/2ba弹性力学ELASTICITY2.平面问题的基本理论深梁：yxOzy/2/2ba(2)受力特征外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿z方向不变化。弹性力学ELASTICITY2.平面问题的基本理论20δzzσ20δzxzτ20δzyzτ因板很薄，外力不沿厚度z变化，应力沿板厚度连续分布，可认为整个薄板的各点都有：0zσ0zxτ0zyτ由切应力互等可得0xzzxττ0yzzyττyxOzy/2/2ba(3)应力特征如图选取坐标系，以板的中面为xy平面，垂直于中面的任一直线为z轴。由于板面上不受力，有弹性力学ELASTICITY2.平面问题的基本理论6个应力分量只剩下平行于xy面的三个平面应力分量，即、、xyyxττxσyσ这三个平面应力分量虽沿厚度方向有变化，但由于板很薄，这种变化也是不明显的，因此可认为是不沿厚度变化。它们只是x和y的函数，不随z而变化。3(,)xyτfxy1(,)xσfxy2(,)yσfxy三个变形分量也可认为是不沿厚度变化。它们只是x和y的函数，不随z而变化。结论：xyxyxyxyxyyxxy弹性力学ELASTICITY2.平面问题的基本理论平面应变问题(1)几何特征一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。——近似认为无限长水坝滚柱厚壁圆筒弹性力学ELASTICITY2.平面问题的基本理论因此，柱形体变形时，横截面上各点只能在其自身平面（xy面）内移动，而不能沿Oz轴方向移动，即位移分量与z无关，而只是x和y的函数。位移分量可写成(,)(,)0uuxyvvxyw(2)外力特征外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度z方向不变化。约束——沿长度z方向不变化。(3)位移、变形和应力特征弹性力学ELASTICITY2.平面问题的基本理论同理，应力分量和变形分量也都与z无关，而只是x和y的函数。由对称条件易知0zxxzττ0yzzyττ由胡克定律知0zxxzγγ0yzzyγγw处处为零，，而z一般不为零。0zε只剩下平行于xy面的三个应变分量：ex、ey、gxy弹性力学ELASTICITY2.平面问题的基本理论平面应力问题与平面应变问题的区别：z向位移0w0w正应变分量1()1()()xxyyyxzxyεσμσEεσμσEμεσσEz向正应力0z()zxyμ1[()]1[()]1[()]xxyzyyzxzzxyεσμσσEεσμσσEεσμσσE弹性力学ELASTICITY2.平面问题的基本理论如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应变问题非平面问题弹性力学ELASTICITY2.平面问题的基本理论平面问题的求解问题：已知：外力（体力、面力）、边界条件，求：xyyx,,xyyxgee,,vu,——仅为xy的函数弹性力学ELASTICITY2.平面问题的基本理论需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：（2）几何学关系：（3）物理学关系：形变与应力间的关系。应力与体力、面力间的关系；形变与位移间的关系；建立边界条件：——平衡微分方程——几何方程——物理方程（1）应力边界条件；（2）位移边界条件；弹性力学ELASTICITY2.平面问题的基本理论2.2平衡微分方程物体在外力（含体力和面力）作用下处于平衡状态，则将其分割成若干任意形状的单元体后，每个单元体仍然平衡；反之，分割后每个单元体的平衡，也保证了整个物体的平衡。从薄板或柱形体中取出一个微小正平行六面体作为单元体，其x和y方向的尺寸分别为dx和dy，z方向的尺寸为一个单位长度。弹性力学ELASTICITY2.平面问题的基本理论应力分量是x和y的函数，设左面的正应力为x，则右面的正应力为2221dd2xxxxxxx略去二阶及其以上微量，则右面的正应力为dxxxx同理，左面切应力为xy，则右面的切应力为dxyxyxx设上面正应力为y，则下面的正应力为设上面切应力为yx，则下面的切应力为dyyyydyxyxyy弹性力学ELASTICITY2.平面问题的基本理论六面体的体力均匀分布，作用于六面体的体积中心C，记为fx和fy。xdxxxxydyyyyxyτyxτdxyxyττxxdyxyxττyyxyCfxfyO弹性力学ELASTICITY2.平面问题的基本理论xdxxxxydyyyyxyτyxτdxyxyττxxdyxyxττyyxyCfxfyOdd0dd1d122dddd1d1022xyCxyxyyxyxyxxxΜxyyxyyyxxyxyyx弹性力学ELASTICITY2.平面问题的基本理论xdxxxxydyyyyxyτyxτdxyxyττxxdyxyxττyyxyCfxfyO0dd1d1dd1d1dd10yxxxxxyxyxxFxyyyxxyxfxy++0yxxxfxy弹性力学ELASTICITY2.平面问题的基本理论xdxxxxydyyyyxyτyxτdxyxyττxxdyxyxττyyxyCfxfyO0dd1d1dd1d1dd10yxyyyyxyxyyFyxxxyyxyfxy++0xyyyfxy弹性力学ELASTICITY2.平面问题的基本理论++0++0yxxxxyyyfxyfxy平衡微分方程2个方程，三个未知量x、y、yx=xy决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑物理和几何方面的条件，才能解决问题。弹性力学ELASTICITY2.平面问题的基本理论2.3平面问题中一点的应力状态1.应力状态：通过物体内同一点可作无数个方位不同的截面，各个截面上的应力一般来说是不同的。物体内同一点各个截面上的应力情况称为该点的应力状态。xxyyxyτyxτxyτyxτxyPOxyOPyxxyτyxτABpnpypxnn弹性力学ELASTICITY2.平面问题的基本理论斜面AB的外法线方向n的方向余弦为xyOPyxxyτyxτABpnpypxnncos(,)cos(,)lmninj设AB的长度为ds，则PA=mds，PB=lds，SPAB=ldsmds/2dd0ddd02xxxxyxmslsFpslsmsfxxxyplm同理可得yyxypml弹性力学ELASTICITY2.平面问题的基本理论斜面AB上的正应力xyOPyxxyτyxτABpnpypxnn222nxyxyxylpmplmlm斜面AB上的切应力22()()nyxyxxylpmplmlm弹性力学ELASTICITY2.平面问题的基本理论2.主应力、应力主面、应力主向若经过P点的某一斜面上的切应力等于零，则该斜面上的主应力称为在P点的一个主应力，而该斜面称为在P点的一个应力主面，该斜面的法线方向称为在P点的一个应力主向。应力主面上切应力为零，全应力就等于主应力，即p=n=。则px=l，py=mxxylmlyxymlmxxymlxyyml弹性力学ELASTICITY2.平面问题的基本理论2)()xyxy22)+()0xyxyxy求得两个主应力为2122=22xyxyxy12=xy两个主应力也就是最大与最小的正应力。弹性力学ELASTICITY2.平面问题的基本理论设1与x轴的夹角为a1，则111111sintancosxxymlaaa主应力1的方向与主应力2的方向相互垂直。设2与x轴的夹角为a2，则222222sintancosxyymlaaa21=()yx21tanxyxa12tantan1aa12l，即在与x轴及y轴成45º的斜面上，切应力达到极值max12min2弹性力学ELASTICITY2.平面问题的基本理论2.4几何方程、刚体位移几何方程：位移分量与变形分量之间的关系式。OxyPBAuvabPBAduuxxdvvxxdvvyyduuyy经过弹性体内的任一点P，沿x轴和y轴正方向取两个微小长度的线段PA=dx和PB=dy。一点的变形线段的伸长或缩短；线段间的相对转动；考察P点邻域内线段的变形：弹性力学ELASTICITY2.平面问题的基本理论OxyPBAuvabPBAduuxxdvvxxdvvyyduuyy变形前变形后PABuv注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。PAduuxxdvvxxBduuyydvvyy弹性力学ELASTICITY2.平面问题的基本理论PA的正应变：dyvdyyvvyvyePB的正应变：dxudxxuuxuxeOxyPBAuvabPBAduuxxdvvxxdvvyyduuyy弹性力学ELASTICITY2.平面问题的基本理论P点的切应变：P点两直角线段夹角的变化yuxvxygyudyudyyuutanaatanbbxvdxvdxxvvbagxyOxyPBAuvabPBAduuxxdvvxxdvvyyduuyy弹性力学ELASTICITY2.平面问题的基本理论当u、v已知，则ex、ey、gxy可完全确定；反之，已知ex、ey、gxy，不能确定u、v。整理得：yuxvyvxuxyyxgee——几何方程（2-8）说明：（1）反映任一点的位移与该点应变间的关系，是弹性力学的基本方程之一。（2）（∵积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）（3）——以两线段夹角减小为正，增大为负。gxy弹性力学ELASTICITY2.平面问题的基本理论物体无变形，只有刚体位移。即：,0,0,0时当xyyxgee0xuxe0yvye0yuxvxyg(a)(b)(c)由(a)、(b)可求得：)()(21xfvyfu(d)将(d)代入(c)，得：0)()(21dxxdfdyydf弹性力学ELASTICITY2.平面问题的基本理论xvxfyuyf0201)()(或写成：dxxdfdyydf)()(21∵上式中，左边仅为y的函数，右边仅x的函数，∴两边只能等于同一常数，即dyydf)(1(d)积分(e)，得：dxxdf)(2(e)其中，u0、v0为积分常数。（x、y方向的刚体位移），代入（d）得:(2-9)xvvyuu00—