用mathematica做函数计算

第三节用Mathematica做函数计算本节主要内容3.1四则运算与运算次序3.2Mathematica的内部函数3.3自定义函数3.4Mathematica中的特殊函数3.1四则运算与运算次序Mathematica中和、差、积、商、乘方运算分别用”+”、”-”、”*”或空格、”/”、”^”来表示。运算次序与通常一致，先乘方，后是乘除，最后是加减。要改变次序可以调用小括号“（）”。例如2345656结果为当输入整数运算时，系统返回分数，保持精确度，要得到近似值可以用近似计算命令“N[]”。例“％”表示前一次运算输出的结果。为了得到更多位数的近似值，可以加上参数指定位数。例0.833333N%N@Pi,18D3.141592653589793243.1四则运算与运算次序Mathematica中常用的数学常数有π用Pi表示e用E表示用Infinity表示Mathematica中的变量名用字母或数字组成，第１个字母用小写．例如data1,list2,等等.变量的赋值用＂＝＂．例data=253.1四则运算与运算次序在Mathematica中变量如果赋了值，在以后的表达式中一直以该值出现，这一点常常被初学者忽略，造成计算结果出错。例如x=Pi3;y=Sin@xD悙N0.866025tx^211293.1四则运算与运算次序系统输出了一个数值，是将看作π/3的结果，而不是一个表达式。要第二次使用一个变量，必须清除原来的值，用“Clear”命令，格式为Clear[变量]或Clear[变量1,变量2]，也可以用格式变量名=.表示将原来的定义取消。3.1四则运算与运算次序3.2Mathematica的内部函数Mathematica中所有基本函数都已定义，此外还有许多函数，列表如下：xxaexlnxalogxx三角函数与反三角函数函数名输入格式函数名输入格式sinxcosxtanxcotxsecxcscxSin[x]Cos[x]Tan[x]Cot[x]Sec[x]Csc[x]arcsinxarccosxarctanxarccotxarcsecxarccscxArcSin[x]ArcCos[x]ArcTan[x]ArcCot[x]ArcSec[x]ArcCsc[x]双曲函数与反双曲函数sinhxcoshxtanhxSinh[x]Cosh[x]Tanh[x]arcsinhxarccoshxarctanhxArcSinh[x]ArcCosh[x]ArcTanh[x]指数函数Exp[x]a^xLog[x]Log[a,x]其它Sqrt[x]Abs[x]max{a,b,c}min{a,b,c}Max[a,b,c]Min[a,b,c]3.3自定义函数Mathematic允许用户使用自己定义的函数，定义方法有3.3.1初等函数例f@x_D:=x^3+Exp@xDf@3D注意：定义函数时自变量后面一定要加下划线。结果为27+E^33.3自定义函数3.3.2分段函数的定义用If或which命令，例如定义函数可以键入或1,21,2xxxxxff@x_D:=If@x?1,x^2,2-xDf@xD:=which@x?1,x^2,x1,2-xD3.3自定义函数在自定义函数时，自变量后面的下划线是不可少的。类似可以定义多变量函数。例如要想知道所定义的函数是否正确，键入u[x,y],回车后系统输出表达式u@x_,y_D:=Sqrt@x^2+y^2Du@x,yDx2+y2例如返回3.3自定义函数在Mathematica中函数的概念是与传统概念有着区别的。它理解为对输入输出的一种法则。比如可以输入圆心和半径,而输出圆的图形。例1定义一个函数，画出以原点O为圆心，r为半径的圆。3.3自定义函数键入这里“Map”命令表示将函数用于后面的表列，运行后得到一组同心圆。myPlot@r_D:=ParametricPlot@8r*Cos@tD,r*Sin@tD,8t,0,2*Pi,AspectRatioAutomaticDMap@myPlot,81,2,3,4,5DShow@%D-4-224-4-224图3.3.13.4Mathematica中的特殊函数3.4.1正交多项式.例如勒让德多项式LegendreP[n,x]切比雪夫多项式ChehyshevT[n,x]3.4.2数学物理函数.例如贝塞尔函数BesselJ[n,z]Gamma函数Gamma[z]β—函数nnnnnxdxdnxP)1(!21)(2)cos(arccos)(nxxTndtttbabababa10111),(3.4Mathematica中的特殊函数但是使用的时候，要注意在不同的数学书中，这些函数的定义，可能有所出入。例2调入拉格朗日函数P1(x)-P6(x)TableForm@Table@LegendreP@n,xD,8n,6DDx-12+3x22-3x2+5x3238-15x24+35x4815x8-35x34+63x58-516+105x216-315x416+231x6163.4Mathematica中的特殊函数画出他们的图形运行后得到下面的图形：For@i=1,i=6,i++,t@iD=Plot@LegendreP@i,xD,8x,-1,1D,DisplayFunction?IdentityDShow@t@1D,t@2D,t@3D,t@4D,DisplayFunction?$DisplayFunctionD-1-0.50.51-1-0.50.511.4.3图习题1-3１计算的近似值，取小数点后18位。２计算下列函数的值10e,5cos)2(,3sin)1(,)125.0arctan()4(,)3(5e)0375.2ln()6(,3125)5(习题1-3３定义如下的分段函数并求出函数值４定义一个函数其它,01,2),(2222yxyxyxf0,1;0,)(xxxexfx)0(),2(),1(fff