新人教版九年级上册数学期末知识点精讲

1.二次根式知识点1．式子a（a≥0）叫做二次根式．1、下列各式①－12m②38③1x④5⑤π是二次根式的是2、x为怎么样的值时，下列各式在实数范围内有意义3x4x51x23xx25x2(6)x77xx261xx知识点2．最简二次根式同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．1、下列式子中是最简的二次根式的是：①28y②21x③a④7.1⑤34⑥3722、（1）18n是整数,求自然数n的值是(2)24n整数，求正整数n的最小值是知识点3．同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式．1、若431ab与4a是同类二次根式，则ab2、若31x与3x是同类二次根式，则x=知识点4．二次根式的性质①（a）2=a（a≥0）；0(0)aa②2a=│a│=(0)0(0)(0)aaaaa；1、化简xx11=______．2、若a0，化简23______.aa3、要使1213xx有意义，则x的取值范围是4、若,xy为实数，且230xy，则2010()xy的值为___________．5、若2(2)2nn，求n的取值范围知识点5．分母有理化及有理化因式把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．1、已知：23a，23b，试求abba的值2、132,,32ab则ab知识点6．二次根式的运算ab=a·b（a≥0，b≥0）；bbaa（b≥0，a0）．1、1(46438)2222、2(322)3、21323023254、)12131(122.一元二次方程知识点1．一元二次方程的判断标准：（1）方程是整式方程（2）只有一个未知数——（一元）（3）未知数的最高次数是2——（二次）三个条件同时满足的方程就是一元二次方程1、下面关于x的方程中：①ax2+bx+c=0；②3x2-2x=1；③x+3=1x；④x2-y=0；④（x+1）2=x2-1．一元二次方程的个数是.2、若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程，则k的取值范围是_________．3、若关于x的方程05122xkxk是一元二次方程，则k的取值范围是_________．4、若方程（m-1）x|m|+1-2x=4是一元二次方程，则m=______．知识点2．一元二次方程一般形式及有关概念一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成一元二次方程的一般形式20(0)axbxca，2ax是二次项，a为二次项系数，bx是一次项，b为一次项系数，c为常数项。注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号1、将一元二次方程3(1)5(2)xxx化成一般形式为_____________，其中二次项系数a=________，一次项系数b=__________，常数项c=__________知识点3．完全平方式1、说明代数式2241xx总大于224xx2、已知110aa,求1aa的值.3、若x2+mx+9是一个完全平方式，则m=，若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是。若942kxx是完全平方式，则k=。知识点4．整体运算1、已知x2+3x+5的值为11，则代数式3x2+9x+12的值为2、已知实数x满足210xx则代数式2337xx的值为____________知识点5．方程的解1、已知关于x的方程x2+3x+k2=0的一个根是x=-1，则k=___．2、求以12x1x3，为两根的关于x的一元二次方程。知识点6．方程的解法⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法；⑤十字相乘法；⑵关键点：降次1、直接开方解法方程2(6)30x21(3)22x2、用配方法解方程2210xx2430xx3、用公式法解方程03722xx210xx4、用因式分解法解方程3(2)24xxx22(24)(5)xx5、用十字相乘法解方程2900xx22100xx知识点7．一元二次方程根的判别式：2b4ac1、关于x的一元二次方程012)2(2mxmx.求证：方程有两个不相等的实数根2、若关于x的方程0122xkx有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。3、关于x的方程0212mmxxm有实数根，则m的取值范围是知识点8．韦达定理1212,bcxxxxaa(a≠0,Δ=b2-4ac≥0)使用的前提：（1）不是一般式的要先化成一般式；（2）定理成立的条件01、已知方程25xmx6=0的一个根为x=3,求它的另一个根及m的值。2、已知22x4x30的两根是x1,x2，利用根于系数的关系求下列各式的值1211xx2212xx12(1)(1)xx212()xx3、已知关于x的一元二次方程x2－（m+2）x+14m2－2=0．（1）当m为何值时，这个方程有两个的实数根．（2）如果这个方程的两个实数根x1，x2满足x12+x22=18，求m的值．知识点9．一元二次方程与实际问题1、病毒传播问题2、树干问题3、握手问题（单循环问题）4、贺卡问题（双循环问题）5、围栏问题6、几何图形（道路、做水箱）7、增长率、折旧、降价率问题8、利润问题（注意减少库存、让顾客受惠等字样）9、数字问题10、折扣问题2.旋转知识点1．旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度1、如图，D是等腰Rt△ABC内一点，BC是斜边，如果将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACD′的位置，回答下列问题：（1）旋转中心为，旋转角度为度（2）△ADD′的形状是。2、16:50的时候，时针和分针的夹角是度知识点2．旋转的性质：1、图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；2、每一对对应点到旋转中心的距离相等；3、每一对对应点与旋转中心的连线所成的夹角为旋转角；4、旋转只改变图形的位置，旋转前后的图形全等；1、如图，9030AOBB°，°，AOB△可以看作是由AOB△绕点O顺时针旋转角度得到的．若点A在AB上。（1）求旋转角大小；（2）判断OB与AB的位置关系，并说明理由。2、将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15后得到ABC△，则图中阴影部分的面积是多少？AOBABACBBC3、如图，在△ABC中,70CAB.在同一平面内,将△ABC绕点A旋转到△//CAB的位置,使得ABCC///,求/BAB的度数。4、如图6，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E、F分别在边AB和BC上，DCM是由ADE逆时针旋转得到的图形。（1）旋转中心是点__________；（2）旋转角是________度，EDM=_________度；（2）若45EDF，求证EDFMDF≌.并求此时BEF的周长.5、△ABC中，∠BAC＝90°，P是△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转一定角度后能与△ACQ重合，AP＝3.（1）求△APQ的面积；（2）判断BQ与CQ的位置关系，并说明理由。6、如图，将正方形ABCD中的△ABD绕对称中心O旋转至△GEF的位置，EF交AB于M，GF交BD于N．请猜想BM与FN有怎样的数量关系？并证明你的结论．7、如图，在Rt△ABC中，ABAC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90后，得到△AFB，连接EF，证明①△AED≌△AEF②222BEDCDE8、如图（1），点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．（1）求∠AEB的大小；（2）如图（2），ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠)，求∠AEB的大小.图6知识点3．旋转对称：一个平面图形绕着某一定点旋转一定角度(小于周角)后能与自身重合，这样的图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转中心。1、如图，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O至少经过____________次旋转而得到，每一次旋转_______度．2、如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，问此正六边形绕正六边形的中心O旋转______度能与自身重合。3、如图的图形旋转一定角度后能与自身重合,则旋转的角度可能是__知识点4．中心对称和中心对称图形1、如图，下列4个数字有（）个是中心对称图形．A．1B．2C．3D．42.下列图形中不是中心对称图形的是（）A、①③B、②④C、②③D、①④知识点5．作图1、网格旋转90°（注意旋转的方向），中心对称，关于原点对称。结合直角坐标系写出对称后坐标2、找出旋转对称中心（两条对应线段垂直平分线的交点），中心对称中心（两组对应点连线的交点）1、已知A（-1，-1），B（-4，-3）C（-4，-1）(1)作△A1B1C1，使它与△ABC关于原点O中心对称；写出A1，B1，C1点坐标；(3)将△ABC绕原点O逆时针旋转90º后得到△A3B3C3，画出△A3B3C3，并写出A3，B3，C3的坐标2、如图，网格中有一个四边形和两个三角形．（1）请你画出三个图形关于点O的中心对称图形；（2）将（1）中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形的对称轴有条；这个整体图形至少旋转度与自身重合知识点6．旋转割补法如图,四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90º，AB=AD，AE⊥BC于E，若线段AE=5，求ABCDS四边形（提示：将四边形ABCD割补为正方形）知识点7．关于原点对称填空：⑴点A（－2，1）关于x轴的对称点为A′（，）；⑵点B（1，－3）与点B（1，3）关于的对称。⑶C（－4，－2）关于y轴的对称点为C′（，）；⑷点D（5，0）关于原点的对称点为D′（，）。4.圆【考点1】和圆有关的概念（1）等弦对等圆心角（）（2）在同圆或等圆中，等弦对等圆心角（）（3）等弧对等弦()（4）等弦对等弧（）（5）等弧对等圆心角（）(6)直径是圆的对称轴（）【考点2】垂径定理及其推论如果一条直线满足(1)过圆心（2）垂直弦（3）平分弦(4)平分弧（优弧和劣弧）（5）平分圆心角知之其中两个条件可以推出三个（知二求三）特别：当选择过圆心和平分弦时，必须强调该弦不是直径。(1)平分弦的直径垂直于弦.（）(2)垂直于弦的直径平分弦.（）EDCBABACEDOOBACD、如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．2、如图，⊙O中，OE⊥弦AB于E，OF⊥弦CD于F，OE=OF，(1)求证：AB＝CD(2)如果ABCD，则OEOF3．如图所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，问修理人员应准备内径多大的管道?4、已知△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4，以C为圆心，CA为半径画圆交AB于点D，求AD的长【考点3】弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系：（举一反三）在同圆和等圆中，等弧对等弦对等角（包括圆心角和圆周角）1.如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上．求证：AM=BN（连接MO,NO,利用全等求证∠MOC=∠NOD,等角等弧）2、如图15，AB、CD是⊙O的直径，DE、BF是弦，且DE=BF,求证：∠D=∠B。3．如图，⊙O中，AB为直径，弦C