概率论与数理统计第一章习题解答

1《概率论与数量统计》第一章习题解答1、写出下列随机试验的样本空间：（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的产品记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果。（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。解：（1）设该班有n人，则该班总成绩的可能值是0，1，2，……，100n。故随机试验的样本空间S=｛i/n|i=0,1,2,……,100n｝。（2）随机试验的样本空间S=｛10,11,12,……｝。（3）以0表示检查到一个次品，1表示检查到一个正品，则随机试验的样本空间S=｛00，0100，0101，0110，0111，100，1010，1011，1100，1101，1110，1111｝。（4）随机试验的样本空间S=｛（x,y）|x2+y21｝。2、设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件：（1）A发生，B与C都不发生。（2）A与B都发生，而C不发生。（3）A，B，C中至少有一个发生。（4）A，B，C都发生。（5）A，B，C都不发生。（6）A，B，C中不多于一个发生。2（7）A，B，C中不多于两个发生。（8）A，B，C中至少有两个发生。解：（1）ABC（2）ABC（3）A∪B∪C（4）ABC（5）ABC（6）ABC∪ABC∪ABC∪ABC（7）S-ABC（8）ABC∪ABC∪ABC∪ABC3、（1）设A，B，C为三个事件，且P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/8，求A，B，C至少有一个发生的概率。（2）已知P（A）=1/2，P（B）=1/3，P（C）=1/5，P（AB）=1/10，P（AC）=1/15，P（BC）=1/20，P（ABC）=1/30，求A∪B，AB，A∪B∪C，ABC，ABC，AB∪C的概率。（3）已知P（A）=1/2，（i）若A，B互不相容，求P（AB），（ii）若P（AB）=1/8，求P（AB）。解：（1）因为P（AB）=0，所以P（ABC）=0。故P（A∪B∪C）=P（A）+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3/4-1/8=5/8。（2）P（A∪B）=P(A)+P(B)-P(AB)=1/2+1/3-1/10=11/15,P（AB）=1-P（A∪B）=4/15,P（A∪B∪C）=P（A）+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=1/2+1/3+1/5-1/10-1/15-1/20+1/30=51/60，P(ABC)=1-P（A∪B∪C）=3/20,P(ABC)=P（AB）-P(ABC)=7/60，P(AB∪C)=P（AB）+P(C)-P(ABC)=4/15+1/5-7/60=7/20。3（3）（i）因为A，B互不相容，所以AB=Φ，P（AB）=0。故P（AB）=P（A）-P（AB）=1/2。（ii）P（AB）=P（A）-P（AB）=1/2-1/8=3/8。4、设A，B为两个事件。（1）已知AB=AB，验证A=B。（2）验证事件A和事件B恰有一个发生的概率为P（A）+P（B）-2P（AB）。证明：（1）A=A（B∪B）=AB∪AB=AB∪AB=（A∪A）B=B。（2）因为ABAB=Φ，所以P（AB∪AB）=P（AB）+P（AB）-P（ABAB）=P（AB）+P（AB）=P（A）-P（AB）+P（B）-P（AB）=P（A）+P（B）-2P（AB）。5、10片药片中有5片是安慰剂。（1）从中任意抽取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率。（2）从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率。解：（1）p=1-55C/510C-15C45C/510C。（2）p=35A/310A。6、在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码。（1）求最小号码为5的概率。（2）求最大号码为5的概率。解：（1）从10人中任选3人的选法有310C种。要求最小号码为5，即有一个人的号码是5，其他两人的号码都在6到10之间。故共有25C种不同的选法。故最小号码为5的概率p=25C/310C。4（2）同理最大号码为5的概率p=24C/310C。7、某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客。问一个订货为4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？解：p=410C34C23C/917C。8、在1500件产品中有400件次品、1100件正品。任取200件。（1）求恰有90件次品的概率。（2）求至少有2件次品的概率。解：（1）恰有90件次品的概率p=90400C1101100C/2001500C。（2）至少有2件次品的概率p=1-2001100C/2001500C-1400C1991100C/2001500C。9、从5双不同的鞋子中任取4只。问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？解：设A为事件“这4只鞋子中没有配成一双”，则事件“这4只鞋子中至少有两只配成一双”是A。从10只鞋子中任取4只有410A种取法，事件A的取法可以有10（第一只的取法）×8（第二只的取法，和第一只一双的那一只也不能取了）×6（第三只的取法）×4（第一只的取法）。故P（A）=1645A/410A。P（A）=1-P（A）=1-1645A/410A。10、在11张卡片上分别写上probability这11个字母，从中任意连抽7张，求其排列结果为ability的概率。解：5从11个字母中选取7个字母有711A种选法。由于b和i各有两个，故排列ability共有4种不同的选法。因此排列结果为ability的概率p=4/711A。11、将3只球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率。解：杯子中球的最大个数为1的概率p=34A/43。杯子中球的最大个数为2的概率p=1--14A/43-34A/43。杯子中球的最大个数为3的概率p=14A/43。12、50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3只铆钉强度太弱。每个部件用3只铆钉。若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱。问发生一个部件强度太弱的概率是多少？解：一个部件强度太弱的事件相当于从50只铆钉中随机地选出的3只铆钉恰好都是强度太弱的且装在了同一个部件上。故p=110C/350C。或p=110C2747C/330C3050C。13、一个俱乐部有5名一年级学生，2名二年级学生，3名三年级学生，2名四年级学生。（1）在其中任选4名学生，求一、二、三、四年级的学生各一名的概率。（2）在其中任选5名学生，求一、二、三、四年级的学生均包含在内的概率。解：（1）在其中任选4名学生，求一、二、三、四年级的学生各一名的概6率=15C12C13C12C18C/412C。（2）设事件A为“一年级有2名学生，其他年级各有一名”，事件B为“二年级有2名学生，其他年级各有一名”，事件C为“三年级有2名学生，其他年级各有一名”，事件D为“四年级有2名学生，其他年级各有一名”，。则A，B，C，D两两不相容，且P（A）=25C12C13C12C/512C，P（B）=15C22C13C12C/512C，P（C）=15C12C23C12C/512C，P（D）=15C12C23C22C/512C，所以在其中任选5名学生，一、二、三、四年级的学生均包含在内的概率=P（A）+P（B）+P（C）+P（D）=240/512C。14、（1）已知P（A）=0.3，P（B）=0.4，P（AB）=0.5，求条件概率P（B|A∪B）。（2）已知P（A）=1/4，P（B｜A）=1/3，P（A｜B）=1/2，求P（A∪B）。解：（1）因为P（B|A∪B）=P（B（A∪B））/P（A∪B），P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）=1-P（A）+1-P（B）-0.5=0.8，P（B（A∪B））=P（AB）=P(A)-P（AB）=0.7-0.5=0.2，所以P（B|A∪B）=0.25。（2）因为P（B｜A）=P（AB）/P（A），所以P（AB）=1/12。又因为P（A｜B）=P（AB）/P（B），所以P（B）=1/6。故P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）=1/3。15、掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）。16、据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P｛孩子得病｝=0.6，P｛母亲得病|孩子得病｝=0.5，7P｛父亲得病|母亲及孩子得病｝=0.4，求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。解：设事件A为“孩子得病”，事件B为“母亲得病”，事件C为“父亲得病”，则要求的概率为P（ABC）。由已知，P（A）=0.6，P（B|A）=0.5，P（C|AB）=0.4，所以P（ABC）=P（AB）P（C|AB）=P（A）P（B|A）［1-P（C|AB）］=0.6×0.5×0.6=0.18。17、已知在10件产品中有2件次品，在其中取两次，每次任取一件，作不放回抽样。求下列事件的概率。（1）两件都是正品。（2）两件都是次品。（3）一件是正品，一件是次品。（4）第二次取出的是次品。解：设事件A为“第一件是正品”，事件B为“第二件是正品”，则（1）两件都是正品的概率P（AB）=28C/210C（或=P（A）P（B|A）=4/5×7/9）。（2）两件都是次品的概率P（AB）=22C/210C（或=P（A）P（B|A）=1/5×1/9）。（3）一件是正品，一件是次品的概率P（AB∪AB）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）=4/5×2/9+1/5×8/9。（4）第二次取出的是次品的概率P（B）=P（AB）+P（AB）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）=4/5×2/9+1/5×1/9。18、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率。若已知最后一个数字是奇数，则此概率是多少？8解：设A表示事件“第一次拨通所需电话”，B表示事件“第二次拨通所需电话”，C表示事件“第三次拨通所需电话”，D表示事件“拨号不超过三次接通所需电话”。则D=A∪AB∪ABC，所以P（D）=P（A）+P（AB）+P（ABC）=P（A）+P（A）P（B|A）+P（AB）P（C|AB）=P（A）+P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）P（C|AB）=1/10+9/10×1/9+9/10×8/9×1/8。当已知最后一个数字是奇数时，则P（D）=1/5+4/5×1/4+4/5×3/4×1/3。19、（1）设甲袋中装有n只白球、m只红球；乙袋中装有N只白球、M只红球。今从甲袋中任意取一只球放入袋中，再从乙袋中任意取一只球。问取到白球的概率是多少？（2）第一只盒子装有4只白球、5只红球；第二只盒子装有5只白球、4只红球。先从第一个盒子中任取2只球放入第二个盒子中，然后从第二个盒子中任取一只球。求取到白球的概率。解：（1）设A表示事件“从甲袋中取到的是红球”，B表示事件“从乙袋中取到的是白球”。则P（B）=P（AB）+P（AB）=+P（ABC）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）=m/(m+n)×N/(M+N+1)+n/(m+n)×(N+1)/(M+N+1)。（2）设A表示事件“从第一个盒子中取到0个红球”，B表示事件“从第一个盒子中取到1个红球”，C表示事件“从第一个盒子中取到2个红球”，D表示事件“从第二个盒子中取到白球”。则P（D）=P（AD）+P（BD）+P（CD）=P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）=24C/29C×17C/111C+14C15C/29C×16C/111C+25C/29C×15C/111C。20、某种产品的商标是“MAXAM”，其中有2个字母脱