量子力学期末考试试卷及答案

1量子力学期末试题及答案红色为我认为可能考的题目一、填空题：1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。二、简答题：1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。三、证明题。22、证明概率流密度J不显含时间。四、计算题。1、3第二题：如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。解：这种分布只对0rr的区域有影响，对0rr的区域无影响。据题意知)()(ˆ0rUrUH其中)(0rU是不考虑这种效应的势能分布，即2004zeUrr（）)(rU为考虑这种效应后的势能分布，在0rr区域，rZerU024)(在0rr区域，)(rU可由下式得出，rEdrerU)()(4)(,4344102003003303420rrrZerrrrZerrZerE00)(rrrEdreEdrerU002023002144rrrdrrZerdrrZe)3(84)(822030020022203002rrrZerZerrrZe)(0rr)(0)(4)3(8)()(ˆ000222030020rrrrrZerrrZerUrUH4由于0r很小，所以)(2ˆˆ022)0(rUHH，可视为一种微扰，由它引起一级修正为（基态03(0)1/210030()ZraZea）dHE)0(1*)0(1)1(1ˆ000220222030023034]4)3(8[rraZdrrerZerrrZeaZ∵0ar，故102raZe。∴00030024042203030024)1(1)3(2rrrdraeZdrrrrraeZE2030024505030300242)5(2raeZrrraeZ203002410raeZ20302452raeZs第三题其相应的久期方程：6.2求自旋角动量在任意方向n)cos,cos,(cos的投影cosˆcosˆcosˆˆzyxnSSSS的本征值和本征函数。解：在zSˆ表象，nSˆ的矩阵元为cos10012cos002cos01102ˆiiSncoscoscoscoscoscos2iiSn0cos2)cos(cos2)cos(cos2cos2ii5即：由归一化条件得：0)cos(cos4cos42222220422)1coscoscos(222利用2所以nSˆ的本征值为2。设对应于2nS的本征函数的矩阵表示为baSn)(21，则babaii2coscoscoscoscoscos2bbiacos)cos(coscos1coscosib22**),(12121bababa1cos1coscos222aia1cos122a取2cos1a，得)cos1(2coscosib121cos2()coscos2(1cos)nSi2121)cos1(2coscos2cos110)cos1(2coscos012cos1)(21iiSn同理可求得对应于2nS的本征函数为)cos1(2coscos2cos1)(21iSn