量子力学第三章5

第三章算符引言前面说过，量子力学中的物理量（或称力学量）用算符表示。这也是量子力学的基本假定之一。本章中，根据量子力学的假定我们将知道用来表示力学量的算符，其实是一种特殊的算符-厄米算符。厄米算符具有一些特点，从而导致力学量也有一些特点。已经学过的算符坐标动量动能势能哈密顿量将要学习的…角动量下面，先来学习厄米算符的基本性质。算符的运算规则1.线性算符定义见课本。请注意：“任意波函数”这个规矩。算符的运算规则nnnnnnnnmmnntiEtiEnmnmnmntiEtiEnmnnmtiEtiEnmnmntiEnnnntiEmmntiEnnnmtiEmmntiEnnmtiEmmEcEccEeccxxdVEeccEexxccdVexcEexcdVexcEexcdVexcHexcdVHdVEnmnmnmnmnmnm2*,*,**,*******||})]()([{))()(())(())(())(())(())((ˆ))((ˆ其实原来已经用过这个性质了。请问为何可以这样算？算符的运算规则刻划客观测物理量的算符都是线性算符。算符的运算规则2.算符相等见教材。算符的运算规则3.算符之和算符的运算规则4.单位算符算符的运算规则5.算符之积注意：一般而言，算符之积不满足交换律。这件事情在量子力学中有重要的意义。ABBABAˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[算符的运算规则算符一般不满足交换律量子力学中的对易关系算符的运算规则坐标-动量对易关系ipxixppxpxxxx]ˆ,ˆ[ˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[练习0]]ˆ,ˆ[,ˆ[]]ˆ,ˆ[,ˆ[]]ˆ,ˆ[,ˆ[ˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆˆ[ˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[BACACBCBAJacobiBCACBACBACBACABCBACABACBAABBA恒等式算符中的常用基本公式练习xxpxixxxxixppˆ2)](,.[2)](,ˆ.[12222ˆ证明：练习解答乘法算子。注意这里其实只是一个。引入一个任意波函数这个函数去乘的操作。用也是一个算符，指的是注意，这里证明：xixpxxxixxxixxixxxxixxxixxixxxxixxxixxpxxxxixpxxx)](,ˆ[)(])([)()()()()()()()()()()]()([)()](,[)()](,ˆ[)()()()](,ˆ.[1练习解答计算与上题类似。xpxixxxpˆ2)](,.[22222ˆ角动量定义基本关系zyxpypxlpxpzlpzpylllllprlllllxyzzxyyzxzyxˆˆˆˆ2222ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ)ˆ,ˆ,ˆ(ˆˆˆˆ角动量对易式请自己总结角动量的对易关系，并请注意记忆的规律。角动量0]ˆ,ˆ[)ˆˆˆ(ˆ]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆ[2lllilllillpiplxixl写成上式不为零的部分，也厄米算符基本性质和定义的？积分表达式是什么样子叫做厄米算符。则，都有，，如果对于任意波函数设有算符AAAAˆ),ˆ()ˆ,(ˆ练习22ˆˆˆ1.,()(,)ˆˆ2.ˆ3.ˆ0xxVxplAAAA证明是厄米算符选做。若是厄米算符，则也是。若是厄米算符，则对于任意态（波函数）下，。关于厄米算符的结论。证明正交征值的本征函数，彼此属于厄米算符的不同本；实数的算符为厄米算符任何状态下，平均值为；证明平均值为实数任何状态下厄米算符的米的；则两个算符的积也是厄若两个厄米算符对易，算符；厄米算符的和也是厄米是厄米的；物理量，对应的算符都)(.6.5)(.4.3.2.1关于厄米算符的结论ˆˆˆˆˆˆˆˆ,0ˆˆˆˆ=ˆˆˆˆ(,)(,)ˆˆ(,)ˆˆABABABBAABBAABBAABAB如果两个厄米算符对易，则它们的乘积也是厄米的。已知、分别是厄米的，且二者对易。即[]=，也就是。则（厄米性质）由上面所以是厄米的。关于厄米算符的结论**ˆˆˆˆ(,)()ˆˆ=(,)=()ˆAAAdvAAdvAA任何状态下厄米算符的平均值为实数。已知是厄米的。根据厄米性两者互为共轭则必为实数。厄米算符本征值正交性的证明需要掌握。见教材。简单：使用“能够换位这一性质”。厄米算符的性质和测量回顾力学量的测量假定厄米算符的性质和测量平均值童鞋：请搞清楚里面的系数是神马含义哦！nnnAcAA2||)ˆ,(厄米算符的性质和测量新概念：涨落。用以衡量测量值在平均值周围不同的散布情况。，叫做“涨落”。这个表示散布程度的量散布越小。散布越厉害；反之，量散布的程度：越大，相应概率的乘积和来衡的平方与就是偏离均值距离大小，在统计中，使用])[(2nnnpxx量子力学中的涨落及其性质--------ˆˆˆ(),ˆˆˆ()()ˆˆ(,())AAAAAAAAA它们都是厄米算符22-------------2-------------22*2-------------2ˆ()ˆ()ˆ(,())ˆˆ((),())ˆˆ[()][()]ˆ|()|0ˆ()0AAAAAAAAdvAAAAdvAAA偏差平方的平均值叫作涨落结论：，涨落不为负。涨落何时为0？。定的，得到的平均值是唯一确此时测量力学量。的本征态就是算符结论：涨落为零的态，即nnAAAAAAAAAAdvAˆˆˆ0)ˆ(0|)ˆ(|)ˆ(2-------------2复习测量假定在一个力学量的本征态下测量这个力学量，涨落为零，就是必然会得到一个确定的结果，这个结果就是本征态对应的本征值。这个已经在测量的假定中说过。不确定度关系存在一种普遍的关系。两个力学量的涨落之间系。发现，名为不确定度关该关系由上述关系，也简记为（注意不要混淆）教材中又简记为（注意不要混淆）教材中又简记为这里，则有如下关系成立：，态），对于任意的一个状和对应算符任意两个力学量（分别HeisenbergBABABBBBAAAABABABA|]ˆ,ˆ[|21,))ˆ(,()(,))ˆ(,()(|]ˆ,ˆ[|21)()(ˆˆ--------------2222--------------22不确定度关1ˆˆ|[,]|2ˆˆ(,)ABABAA注意式中三个量都是平均值，回忆：平均值都是对于具体的波函数来计算的，同时测量两个力学量不确定关系规定了同时测量两个力学量可以达到的精度极限。不确定度关系的最基本例子^^ˆˆˆˆˆ,,[,][,]1ˆˆ|[,]|22ˆxxxxAxBpABxpixpABxp这个式子表明，同时测量和，不可能都得到确定的值。运用不确定原理来研究问题可能用到的基础命题2个（1）一维势场中的粒子，如果势函数具有对称性，且本征函数无简并，则能量本征态下坐标的平均值为0.（或者：一维束缚态中，如果势函数具有对称性，则本征态下坐标平均值为0）（2）一维束缚本征态下，动量的平均值为0。衍生题型：估算势阱中基态的能量222???ˆ*,()*()24EEHpxpx根据不确定度原理基本思路：基态最小的能量，取等号即可。出发点是：注意到不确定度原理：就是请思考下可能的途径。估算势阱中基态的能量222-----222*,()*()240,ˆ2()22*()4pxpxppmHpmHmHx根据不确定度原理就是又有则，也就是那么-----2222ˆˆ(,),2*()4~8()nnnnnEHHmExxaEmx对于本征态，于是，估计是合理的就是这样就可以给本征能量值找到一个下限，就是基态能量。2.估算谐振子基态能量注意和势阱的稍有不同。试试看，有没有办法解决？运用不确定原理估算基态能量的经典习题估算谐振子的基态能量22222-----*,()*()240,ˆ1ˆ22ˆ2pxpxppHkxmpmH根据不确定度原理就是又有注意到谐振子，+,则不能直接用，2222222222222ˆ0,()ˆˆ11()1ˆˆˆ()222222()12()()()221==422xxxpppHkxkxkxmmmpkkxpxmmkm注意到。+++使用基本算术不等式由不确定关系小问题1.测量能量的值，有没有可能比基态的还要小？第九周作业1.必做：请认真细致地完成谐振子基态能量的估算。2.选作：教材60页练习5，如果你能找到其它方法的话。共同本征态ˆˆˆˆˆˆˆˆˆkkknAAAAAABAABBAB复习本征态：如果满足的本征方程则是的属于本征值的本征函数。新知识：如果同时满足的本征方程和的本征方程则是和的共同本征函数（分别属于两个本征值）。共同本征态vs.两算符对易与否下面要利用不确定度关系，讨论这两个概念之间的关系。请思考一下。是一种“一言难尽”的关系。共同本征态vs.两算符对易与否两个概念之间有如下关系：分成A、B情况。根据是否对易分类。特殊态后面会给出实例。共同本征态vs.两算符对易与否共同本征态vs.两算符对易与否概念题：1.如果两个厄米算符有共同本征态，是否彼此对易？共同本征态vs.两算符对易与否概念题：1.如果两个厄米算符有共同本征态，是否彼此对易？解答：图。AB情形都可能。所以不一定。共同本征态vs.两算符对易与否概念题：2.如果两个厄米算符不对易，是否一定木有共同本征态？共同本征态vs.两算符对易与否概念题：2.如果两个厄米算符不对易，是否一定木有共同本征态？解答：图。否，存在特殊情形。共同本征态vs.两算符对易与否概念题：3.如果两个厄米算符对易，是否在所有态之下它们都同时具有确定的测量值？共同本征态vs.两算符对易与否概念题：3.如果两个厄米算符对易，是否在所有态之下它们都同时具有确定的测量值？解答：同时具有确定的测量值，就是指存在共同本征态。看图。其实存在很多态，不是共同本征态。共同本征态vs.两算符对易与否概念题：4.如果两个厄米算符对易式为常数，两个算符能否具有共同本征态？共同本征态vs.两算符对易与否概念题：4.如果两个厄米算符对易式为常数，两个算符能否具有共同本征态？解答：看图，其实是否存在共同本征态和对易式的值没有直接关系。共同本征态的实际例子一^^^^^2[,]0zlrpll角动量复习：共同本征态的实际例子一）”也叫做“简并度为个波函数，有的本征态是简并的，共轨道角动量量子数为这意味着：个）。（共的取值范围是，磁量子数：对于给定的轨道角动量量子数：。满足才能确定该函数需要确定了球谐函数的共同本征函数和于是存在12()12(12),1(,...,2,1,0,1,2),...,1(,:,...2,1,0:)1(),)(,(:,0],[^2^2^^2^^2llllllllmlmlYmYlYllYlmlYlllllmlmzlmlmlmzz练习1.请列出l=0,1,2,3的所有本征值，本征函数，满足的本征方程练习解答0020000000011101-12211111111(1)00ˆ=