量子力学考试试卷

A卷第1页共4页长江大学试卷院（系、部）专业班级姓名学号…………….…………………………….密………………………………………封………………..…………………..线……………………………………..2011─2012学年第二学期《量子物理学》课程考试试卷(A卷)专业：应物年级：09级考试方式：闭卷学分：4考试时间：110分钟一.填空题(每空2分，总分20分)1.根据德布罗意关系式，微观粒子都具有波粒二象性。其表示式为E=；P=2.粒子所带电荷为q，则其电荷流密度的公式表示为：qJ=3.粒子的坐标与动量的对易关系为：ˆˆ,xxp4.属于角动量平方算符2ˆL的本征值为：2L5.电子自旋算符的矩阵表示：.ˆxS6.粒子数算符†ˆˆˆNaa，†ˆa和ˆa分别为产生算符和湮灭算符。在以|n为基矢的占有数表象中，有ˆNn7.氢原子的状态波函数nlm来描述，其中的m为量子数。8.已知幺正变换矩阵S，则†SS.题号一二三四五六总分阅卷人得分得分A卷第2页共4页9.势垒贯穿效应中粒子的透射系数为D，则反射系数的表达式为：R二．简答题(每个5分，共计20分)1.波函数的统计解释2.量子力学中守恒量概念，定态概念与它们的区别3.电子自旋概念和自旋角动量的本征值4.全同粒子的概念和全同性原理的涵义三．证明题(10分)厄米算符ˆF的本征值为，请证明必为实数得分得分A卷第3页共4页长江大学试卷院（系、部）专业班级姓名学号…………….…………………………….密………………………………………封………………..…………………..线……………………………………..四．计算题(15分)一粒子在一维势场,0()0,0,xUxxaxa中运动，求：（1）粒子的能级；（2）相应的归一化波函数()x。五．计算题(15分)设0t时粒子的状态为21()(sincos)2xAkxkx，求此时粒子的：（1）平均动量p；（2）平均动能T。得分得分A卷第4页共4页六．计算题(20分)已知在2ˆL和ˆzL的共同表象中，算符ˆxL矩阵表示为：010ˆ1012010xL。求它们的本征值和归一化的本征函数。得分B卷第1页共4页2011─2012学年第二学期《量子物理学》课程考试试卷(A卷)参考答案及评分标准一、填空题(每空2分，共计20分)1.h或；k或/h2.**()2qiJm3.i4.2(1)ll5.011026.nn7.磁8.1或I(I是单位矩阵)9.1-D二、简答题（20分）1.答：量子力学中，微观粒子的运动状态用波函数来描述，波函数的时空变化规律由薛定谔方程表示。波函数的统计统计解释为：物质波或薛定谔方程中所描述的，并不像经典波那样代表什么实在的物理量在空间分布的波动，只不过是刻画粒子在空间的概率分布的概率波。因此，波函数()r也称为几率波幅。根据波函数的统计解释，粒子在空间各点的概率之和为1，即：()12rd全，称为波函数的归一化条件。2.答：定态是体系的一种特殊的状态，即能量本征态。在定态下，一切力学量（不显含t，但不管是不是守恒量）的平均值和测值概率都不随时间改变。守恒量是指在任何态下，也即一切状态下（不管是否定态），力学量ˆF的期望值与测值概率不随时间变化。3.答：电子自旋及相应的磁矩是电子本身的内禀属性，所以也称为内禀角动量与内禀磁矩。其性质类似于轨道角动量与轨道磁矩，自旋可以与之相互耦合。自B卷第2页共4页旋角动量S在空间任何方向的投影只能取两个数值2zS。4.答：将质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子称为全同粒子。全同性原理：全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变，它是量子力学的基本原理之一。全同粒子系的任何可观测量对于两个粒子交换都是对称不变的。三、证明题（10分）证明：表示厄米算符ˆF的本征值，设表示其所属的本征函数，根据本征方程：ˆF上式左乘*并对全空间积分得：*ˆFd取的复共轭得：***ˆFd（5分）由于算符ˆF为厄米算符，因此*ˆˆFF，代入上式中可得：*****ˆˆˆFdFdFd厄米算符ˆF的本征值等于*，说明为实数。（5分）定理得证。四、计算题（15分）解：（1）在势阱内部（0xa），定态薛定谔方程为：22220dmEdxm为粒子质量。令22mEk，上面的方程化为：20k（5分）方程的通解可以表示为：()sin()xAkx；A与为待定积分常数。因为势垒无限高，从物理上考虑，粒子不能透过井壁。按照波函数的统计诠释，要求B卷第3页共4页在阱壁上及阱壁外波函数为0，特别是：(0)0与()0a，此即为波函数的连续性条件。将条件带入通解条件中得：sin0和sin()0ka解得0与kan，1,2,3,n将22mEk代入kan得到：22222nnEEma，1,2,3,n（5分）（2）对应与能级nE的波函数记为：()nx()sin()nnxxAa，利用归一化条件：20()1axdx可得：归一化常数2Aa；则得到归一化的波函数为：2()sin()nnxxaa（5分）五、计算题（15分）解：利用三角函数公式：1sin()2ikxikxkxeei，1cos()2ikxikxkxee可得到：22201()(sincos)(2)24ikxikxikxikxAxAkxkxeeeee41235111111222222(2)[(2)(2)(2)(2)2(2)]4ipxiiiipxpxpxpxAeeeee（5分）表明粒子所处的状态实际上是由5个平面波线性叠加而成的叠加态，根据态迭加原理，此时粒子动量有5个可能取值，它们的取值及相应的几率分别是：B卷第4页共4页12345220pkpkpkpkp221222223224225248248248248222AwAAwAAwAAwAAwA（5分）由此可得粒子动量与动能的平均值分别为：5511/0iiiiippww；22222255221155/2288iiiiikApkTpwmwmmmA（5分）六、计算题（20分）解：在2ˆL和ˆzL的共同表象中，ˆxL的本征方程为：ˆxL。写成矩阵的形式有：1122330101012010cccccc（5分）相应的久期方程为：0202202；解得本征值,0,。（5B卷第5页共4页长江大学试卷院（系、部）专业班级姓名学号…………….…………………………….密………………………………………封………………..…………………..线……………………………………..分）将每一个本征值带回到矩阵形式的算符本征方程中可得到相应的本征矢。当时：1122330101012010cccccc，即：2113223222ccccccc可以得出：13cc，232cc。于是得到与本征值相对应的ˆxL的本征矢为：3121xLc。将上式归一化得312c；即得：11221xL（5分）同理可解得：210022xL11221xL（5分）2011─2012学年第二学期《量子物理学》课程考试试卷(B卷)专业：应物年级：09级考试方式：闭卷学分：4考试时间：110分钟B卷第6页共4页一.填空题(每空2分，总分20分)1.†ˆa为产生算符、ˆa为湮灭算符、|n为占有数表象的基矢，则†ˆ|an；ˆ|an。2.一维线性谐振子的分立谱能量本征值为E=3.坐标与动量的对易关系为：ˆˆ,xpx4.角动量的z分量算符ˆzLi的本征值为：5.电子自旋算符的矩阵表示：.ˆzS6.算符ˆF为厄米算符，则其转置算符ˆF7.氢原子的状态波函数nlm来描述，其中的n为量子数。8.已知幺正变换矩阵S，则†SS..9.一维线性谐振子的能量本征函数为()nx，空间反演后的波函数()nx与题号一二三四五六总分阅卷人得分得分B卷第7页共4页()nx的关系式为：()nx二．简答题(每个5分，共计20分)1.态迭加原理2.量子力学中的不确定原理的物理意义3.泡利不相容原理及其物理意义4.波函数的标准条件及其意义三．证明题(10分)是厄米算符ˆF的本征值，请证明必为实数得分得分B卷第8页共4页长江大学试卷院（系、部）专业班级姓名学号…………….…………………………….密………………………………………封………………..…………………..线……………………………………..四．计算题(15分)一粒子在一维势场,0()0,0,yUyybyb中运动，求：（1）粒子的能级；（2）相应的归一化波函数()y。五．计算题(15分)在0t时粒子的状态波函数为：211()(cos2sin)22xAkxkx，求此时粒子的：（1）平均动量p；（2）平均动能T。得分得分B卷第9页共4页六．计算题(20分)已知在2ˆL和ˆzL的共同表象中，算符ˆyL矩阵表示为：00ˆ0200yiLiii。求它们的本征值和归一化的本征函数。得分B卷第10页共4页B卷第1页共4页2011─2012学年第二学期《量子物理学》课程考试试卷(B卷)参考答案及评分标准一、填空题(每空2分，共计20分)1.11nn,1nn2.1(),0,1,2,3,2nn3.i4.,0,1,2,3,4,mm5.100126.*ˆF7.主8.1或I(I是单位矩阵)9.(1)()nx二、简答题（20分）1.答：态迭加原理的表示式为：1122nnnnncccc。式中12,,,nccc为复数。态迭加原理表示如下：当12,,,n是体系的可能状态时，他们的线性迭加也是体系的一个可能状态；当体系处于态时，体系部分地处于态12,,,n中，相应的概率分别为22212,,,nccc。2.答：当两个算符ˆF和ˆG不对易时，它们不能同时有确定值。如果ˆˆˆ,FGik（ˆk为算符或普通的数），根据不确定性原理，其均方偏差与的乘积222ˆˆ()()4kFG，集中反映了量子力学规律的特点。不确定关系给我们指出了使用经典粒子概念的一个限度。这个限度用Planck常量h来表征。当0hB卷第2页共4页时，量子力学将回到经典力学，或者说量子效应可以忽略。3.答：如果N个单粒子态,,,ijk中有两个单粒子态相同，则Slater（斯莱特）行列式中有两行相同，因而行列式等于零。这表示不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态，这个结果称为泡利不相容原理。4.答：波函数在变量变化的全部区域内通常应满足三个条件：单值、有限、连续。由于粒子出现的概率2w应是坐标和时间的单值函数，这样才能使粒子的概率在时刻t、在r点有唯一确定的值。由于概率密度和概率流密度应当连续，所以必须在变量变化的全部区域内是有限的和连续的，并且有连续的微商（在有限个点上，和它的微商在保持平方可积的条件下可以趋于无穷大）。波函数的标准条件对波函数的取值提出了要求，它在解量子力学问题中占有重要地位。三、证明题（10分）证明：表示厄米算符ˆF的本征值，设表示其所属的本征函数，根据本征方程：ˆF上式左乘*并对全空间积分得：*ˆFd取的复共轭得：***ˆFd（5分）由