二重积分积分区域的对称性

情形一：积分区域D关于坐标轴对称定理4设二元函数(,)fxy在平面区域D连续，且D关于x轴对称，则1)当(,)(,)fxyfxy（即(,)fxy是关于y的奇函数）时，有(,)0Dfxydxdy.2)当(,)(,)fxyfxy（即(,)fxy是关于y的偶函数）时，有1(,)2(,)DDfxydxdyfxydxdy.其中1D是由x轴分割D所得到的一半区域。例5计算3()DIxyydxdy，其中D为由22yx与2x围成的区域。解：如图所示，积分区域D关于x轴对称，且3(,)()(,)fxyxyyfxy即(,)fxy是关于y的奇函数，由定理1有3()0Dfxyydxdy.类似地，有：定理5设二元函数(,)fxy在平面区域D连续，且D关于y轴对称，则22(,),(,)(,).(,)0,(,)(,).DDfxydxdyfxyfxyfxydxdyfxyfxy当当其中2D是由y轴分割D所得到的一半区域。例6计算2,DIxydxdy其中D为由22;-220yxyxy及所围。解：如图所示，D关于y轴对称，并且2(,)(,)fxyxyfxy，即被积分函数是关于x轴的偶函数，由对称性定理结论有：11222220022215xDDIxydxdyxydxdydxxydxdy.定理6设二元函数(,)fxy在平面区域D连续，且D关于x轴和y轴都对称，则（1）当(,)(,)fxyfxy或(,)(,)fxyfxy时，有(,)0Dfxydxdy.（2）当(,)(,)(,)fxyfxyfxy时,有1(,)4(,)DDfxydxdyfxydxdy其中1D为由x轴和y轴分割D所的到的1/4区域。9例7计算二重积分()DIxydxdy，其中D：1xy.解：如图所示，D关于x轴和y轴均对称，且被积分函数关于x和y是偶函数，即有(,)(,)(,)fxyfxyfxy，由定理2，得1()4()DDIxydxdyxydxdy其中1D是D的第一象限部分，由对称性知,11DDxdxdyydxdy，故14()DIxydxdy14()Dxxdxdy18Dxdxdy43.情形二、积分区域D关于原点对称定理7设平面区域12DDD,且1,D2D关于原点对称,则当D上连续函数满足1)(,)(,)fxyfxy时,有1(,)2(,)DDfxydxdyfxydxdy2)(,)(,)fxyfxy时,有(,)0Dfxydxdy.例8计算二重积分33()Dxydxdy,D为3yx与yx所围区域.解:如图所示,区域D关于原点对称,对于被积函数33(,)fxyxy,有3333(,)()()()(,)fxyxyxyfxy,有定理7,得33()0Dxydxdy.情形三、积分区域D关于直线yx对称定理8设二元函数(,)fxy在平面区域D连续,且12DDD,1,2DD关于直线yx对称,则1)(,)(,)DDfxydxdyfyxdxdy;12(,)(,)DDfxydxdyfxydxdy.2)当(,)(,)fyxfxy时,有(,)0Dfxydxdy.3)当(,)(,)fyxfxy时,有1(,)2(,)DDfxydxdyfxydxdy.例9求2222()DxyIdxdyab,D为222xyR所围.解:积分区域D关于直线yx对称,由定理8,得22222222()()DDxyyxdxdydxdyabab,故2222()DxyIdxdyab222222221[()()]2DDxyyxdxdydxdyabab2222111()()2Dxydxdyab222200111()2Rdrrdrab42211()4Rab.类似地，可得：定理9设二元函数(,)fxy在平面区域D连续,且12DDD,1,2DD关于直线yx对称,则（1）当(,)(,)fyxfxy,则有(,)0Dfxydxdy；(2)当(,)(,)fyxfxy,则有1(,)2(,)DDfxydxdyfxydxdy.例10计算22()arcsin()DIxyxydxdy,其中D为区域:01x,10y.解:如图所示,积分区域D关于直线yx对称,且满足(,)(,)fyxfxy,由以上性质,得:22()arcsin()0DIxyxydxdy.注：在进行二重积分计算时,善于观察被积函数的积分区域的特点,注意兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性,恰当地利用对称方法解题,可以避免繁琐计算,使二重积分的解答大大简化。